L'énergie nucléaire pour les nuls

 Il est connu depuis un siècle que l'énergie nucléaire est de l'ordre du million de fois plus concentrée dans une même masse que l'énergie chimique. L'explication est très simple: le rayon du noyau de l'atome est en effet de l'ordre du million de fois plus petit que celui d'une molécule. Cela provient de ce que les liaisons chimique et nucléaire sont de même nature électrique, c'est-à-dire toutes deux soumises aux lois de Coulomb, en 1/r, de l'énergie électrique où r est le rayon d'un noyau ou d'une molécule.

Selon Einstein, l'énergie d'un objet de masse m est E = mc². Selon Bohr l'énergie chimique est α²m_ec² . Selon Schaeffer, l'énergie nucléaire est αmc², intermédiaire entre les deux précédentes. 

m est la masse considérée, m_e celle de l'électron, α = 1/137 la constante de structure fine et c la vitesse de la lumière.

L'atome et son noyau

Le modèle de l'atome qu'on trouve dans tous les livres est celui de Bohr où les électrons, en jaune, tournent autour du noyau en bleu et rouge:

Les nucléons, protons en rouge et neutrons en bleu, au contraire des électrons en jaune, ne peuvent tourner autour d'un noyau du noyau, inexistant. En fait, le noyau serait plus proche d'un solide que d'un système planétaire. Bizarrement, je n'ai jamais vu aucune image du noyau de type planétaire mais bien au contraire, celle d'un solide tournant présenté par Martin Freer au congrès de physique nucléaire EuNPC 2012 à Bucarest. 

Le modèle en couches régies par des "nombres magiques" consiste à appliquer le modèle de Bohr de l'atome à son noyau modifié en distinguant ou non neutrons et protons. Cet effet est sans doute réel mais du second ordre et ne permet en aucun cas de calculer l'énergie nucléaire. Les nucléons sont supposés tourner alors que le noyau n'a, au contraire de l'atome, pas de point fixe central. De plus la vitesse des nucléons serait si importante qu'on a imaginé la force forte destinée à équilibrer la force centrifuge, inexistante en l'absence de centre fixe. Cette force forte (on remarquera que cela ne veut rien dire) est accompagnée, pour faire bonne mesure, d'une force faible. Les nucleons sont un million de fois plus petits que l'atome, du même ordre de grandeur que le rapport de l'énergie nucléaire à l'énergie chimique. L'énergie nucléaire est, en effet, environ un million de fois plus concentrée que l'énergie chimique. Cela s'explique par la loi de Coulomb où le potentiel électrostatique est en 1/r : la force dite forte est hypothétique et sa constante dite de couplage est toujours inconnue dans les tables de constantes physiques.  

Tout le monde connaît la fameuse formule d'Einstein  E = mc² qui donne l'énergie de masse, libérée lorsqu'on transforme une masse m en lumière de vitesse c (dématérialisation). L'énergie nucléaire est la différence entre la somme des masses des protons et des neutrons et la masse du noyau correspondant. On s'aperçoit que la masse du noyau est inférieure à celle de ses constituants. La masse se transforme en énergie de liaison nucléaire. L'énergie de liaison "pèse" donc mais son poids est négatif: un noyau est plus lourd que ses composants, de l'ordre de 1%, comme l'a montré Aston. C'est pareil pour l'énergie de liaison chimique qui est aussi négative mais sans doute trop faible pour être mesurable par la variation de masse. En pratique on la mesure d'après la chaleur émise ou absorbée par les réactions chimiques. On connaît une formule analogue, α²m_ec²/2 pour l'énergie chimique qui est celle qu'on obtient en enlevant son électron à un atome d'hydrogène. Comme la "constante de structure fine" α est égale à 1/137, la formule précédente montre que l'énergie chimique est de l'ordre de 40.000 fois plus faible que l'énergie de masse. Lorsqu'on a enlevé l'électron, il reste le noyau de l'atome d'hydrogène, le proton (appelé parfois protium) de charge électrique positive. L'électron, de charge électrique négative, attiré par la charge positive du proton, tourne autour de lui à la manière d'une planète autour du Soleil. La différence est que la gravitation est remplacée par l'attraction entre la charge électrique positive du proton et la charge négative de l'électron. La liaison est électromagnétique mais limitée à certaines fréquences de résonance définies par la mécanique quantique (les lois équivalentes, encore mal connues en physique nucléaire sont représentées par des fréquences bizarrement dites "magiques"). On obtient ainsi un atome d'hydrogène. En liant deux atomes d'hydrogène, on obtient la molécule d'hydrogène H₂. Avec un atome d'oxygène on obtient une molécule d'eau H₂O.

Ajoutons maintenant  au proton un neutron contenant des charges positives et négatives de somme nulle, donc pas tout à fait neutre comme on le lit encore dans de nombreux livres de physique nucléaire. On obtient un noyau constitué d'un proton et d'un neutron appelé deuton ou deutéron, de symbole d ou ²H. L'électron tourne autour du noyau maintenant constitué d'un proton et d'un neutron: c'est l'hydrogène lourd ou deutérium de symbole ²H ou D (d pour le noyau seul). Combiné à de l'oxygène, on obtient l'eau lourde, ²H₂O ou D₂O célébrée dans le film "La bataille de l'eau lourde". En ajoutant un second neutron au noyau, constitué maintenant d'un proton et de deux neutrons plus l'électron en rotation autour du noyau  on obtient le tritium ³H, radioactif, qui donne l'eau tritiée ou super-lourde ³H₂O qu'on trouve dans les égouts sortant des centrales nucléaires.

D'où vient l'énergie nucléaire ?

On sait depuis un siècle que l'énergie nucléaire est un million de fois plus concentrée que l'énergie chimique et que l'énergie libérée en cassant un noyau est de l'ordre de 1% de l'énergie de masse E= mc².  Il reste à trouver la formule donnant ce million et ce 1%, connus depuis un siècle mais jamais calculés par une théorie équivalente à celle de l'atome de Bohr.

Il y a deux sources principales d'énergie nucléaire, la fission et le fusion. Ces deux mots se ressemblent mais la fission s'obtient en cassant des noyaux lourds comme l'uranium (la bombe atomique et les centrales nucléaires). En fusionnant des noyaux légers comme l'hydrogène, on obtient la bombe H. Malgré des recherches depuis un demi siècle, il n'y a pas encore de centrale nucléaire fonctionnant par fusion. Un résultat n'est pas attendu avant un nouveau demi-siècle car on ne maîtrise pas une matière chauffée à des millions de degrés appelée plasma. On essaie (c'est le Tokamak) de confiner cette matière sans contact avec son récipient grâce à des aimants qui écartent le plasma de la paroi. On espère ainsi réinventer le mouvement perpétuel puisque la matière première utilisée est l'eau, inépuisable…

On a vu plus haut que le proton avait une charge électrique positive et le neutron un nombre égal de charges positives et négatives. Les Grecs ont baptisé l'électricité d'après l'ambre, en grec elektra et le magnétisme d'après la province grecque de magnésie. Pour comprendre l'électricité statique frottez un stylo en plastique contre un tissu adéquat. Le stylo électrisé attirera des petits bouts de papier neutres: c'est pareil : un proton, chargé positivement, attire un neutron, certes neutre mais qui contient pourtant des charges électriques. Le magnétisme s'observe avec une boussole qui s'oriente selon la direction nord-sud ou dans une autre direction si on approche un second aimant. Si on rapproche deux aimants, il y a en général répulsion selon comme pour des aimants de pôles opposés. C'est tout simplement comme cela que j'explique l'énergie nucléaire, ce que ne veulent pas reconnaître les pontes du nucléaire car toutes leurs théories abracadabrantes s'écrouleraient.

Revenons au noyau atomique où deux forces s'équilibrent : une attraction électrostatique et une répulsion magnétique en l'absence de rotation des protons et des neutrons, donc de force centrifuge. En effet, le noyau, au contraire de l'atome, n'a pas de noyau autour duquel les protons et les neutrons pourraient tourner. Mon calcul montre que les forces électromagnétiques font l'affaire sans qu'il soit nécessaire de faire intervenir d'une hypothétique "force forte" si parfaitement imaginaire  qu'on ne trouve nulle part ses constantes universelles comme celles de la gravitation ou de l'électromagnétisme.

Energies nucléaire et chimique

On obtient ainsi une valeur tout à fait vraisemblable pour l'énergie nucléaire puisque l'énergie nucléaire est de l'ordre de l'énergie de masse  divisée par 137,  en accord avec le 1% indiqué plus haut. Le calcul conduit à une formule littérale où α =  1/137 est la constante de structure fine bien connue en physique. La masse de l'électron s'écrit m_e, celle du proton m_p (ou du neutron, m_n, légèrement différente). L'énergie de l'atome d'hydrogène selon la théorie de Bohr est α²m_ec²/2 où m_e est la masse de l'électron et, selon la mienne, celle de l'énergie nucléaire, αm_pc². 

Cela donne un rapport

 m_p/m_e/α/2 = 1836 x 137/2 = 125.000, de l'ordre de grandeur du million évalué depuis un siècle par Pierre Curie pour le rapport des énergies nucléaire et chimique. En effet, l'énergie nucléaire est l'énergie nécessaire pour séparer le neutron du proton de l'hydrogène lourd qui est de 2,2 MeV (million d'électron-volt). L'énergie chimique est l'énergie nécessaire pour séparer l'électron de l'atome d'hydrogène qui est de 13,6 eV (électron-volt). On trouve un rapport de 160.000 voisin de 125.000, ce qui n'est pas si mal car personne ne l'avait trouvé avant moi.

Je n'ai jamais réussi à faire reconnaître à aucun physicien nucléaire qu'il ne savait pas expliquer ce chiffre du million, tout au plus que ce serait pour bientôt. Seuls des marginaux le reconnaissent de façon voilée.

Cette formule peut se démontrer de façon assez simple Energie_nucleaire (pdf à télécharger). L'académie des sciences en a refusé la publication (d'ailleurs maintenant elle n'accepte des publications que sur "invitation" autrement dit il faut s'adresser ailleurs pour prendre date.

Pour plus de détails, voir ma présentation à l'université de Glasgow (en anglais) et le texte fondateur de ma théorie, dans une revue américaine, qui m'a permis de prendre date.  Voir aussi mon dernier article "Ab Initio Calculation of 2H and 4He Binding Energies" où je calcule l'énergie, non seulement du deuton, avec une meilleure précision, mais aussi celle de la particule alpha alias 4He: J. Modern Physics

Ma théorie électromagnétique de l'énergie nucléaire est la seule en accord avec la réalité expérimentale, les autres ne sont que des mots ronflants (force forte, devenue force de couleur, et force faible, devenue électro-faible, quarks, gluons, violation de symétrie et la super-symétrie, nombres magiques …) et des sigles à la mode (QED, QCD, SU(2), SuSy) sans oublier les constantes variables… 

Polycarbonate de bisphénol

 A télécharger : Polycarbonate , par  Weiss, et Garde. Travail expérimental par Bernard Schaeffer

Le polycarbonate de bisphénol a défrayé la chronique récemment car il est (ou a été) utilisé dans le plastique des biberons. Je l'ai étudié aux Etats-Unis pour simuler la rupture de l'acier qui posait un problème pour les canons  des navires américains. Il est aussi utilisé comme bouclier transparent par la police à cause de sa grande ténacité et ne se casse pas comme du verre mais de façon ductile comme le montre la première photo où on voit qu'il se déchire progressivement:

Rupture ductile

Contrainte plane

Rupture fragile

Lorsque l'épaisseur est importante par rapport aux autres dimensions il peut se casser comme du verre, ci-dessous. En réalité je n'ai pas attendu la rupture brutale, comme du verre, pour arrêter la machine de traction de façon à visualiser le phénomène de la rupture fragile d'un matériau ductile. On y remarque une fissure, brillante et une zone peu visible entre le trou et la fissure qui est la zone de déformation plastique. J'ai réalisé cette pièce de façon à bien visualiser le phénomène, bien plus discret dans l'article cité ci-dessus où mon nom a été remplacé par celui d'un autre qui n'a contribué en rien à ce travail.

Déformation plane

 Comme ci-dessus l'éprouvette est en traction verticale mais les trous de fixation ne sont pas visibles car l'éprouvette a été raccourcie.

Equations de Schrödinger et de Klein-Gordon

Onde pilote

 

L'objet de cet article est de démontrer l'équation de Schrödinger indépendante du temps à partir de l'onde de de Broglie

Masse et vibration d'une particule matérielle

L’énergie E, la masse m et la fréquence interne ν d’une particule matérielle sont reliées selon la formule d’Einstein-Planck qui établit l'équivalence entre énergie, masse et fréquence :.

où c est la vitesse de la lumière et h la constante de Planck. Energie, masse et fréquence sont donc proportionnelles en vertu des relations précédentes. Rappelons la formule de la masse relativiste d'Einstein :

 est la masse au repos ou masse propre de la particule et  sa masse relativiste en mouvement à la vitesse v. En combinant les deux relations précédentes, on obtient la fréquence ν, qui s'écrit selon de Broglie (p 35 de sa thèseLouis de Broglie, Recherches sur la théorie des Quanta, numérotation en haut de page) :

La fréquence ν, très élevée, de  pour un électron, correspond aux rayons gamma les plus durs. Elle ne semble pas mesurable directement, par exemple à l'aide d'un fréquencemètre. La formule est valable dans n’importe quel référentiel, en particulier dans le référentiel propre de la particule matérielle, où  est la fréquence propre, une fréquence de coupure en dessous de laquelle celle de la particule ne peut descendre. Au repos, l'énergie et la masse sont aussi minimales. Comme h et c sont des constantes universelles, la fréquence est différente dans le référentiel propre de la particule et dans celui de l’observateur, dans les mêmes proportions que la masse ou l'énergie. Cette fréquence varie peu avec la vitesse lorsqu’elle est faible, mais tend vers l’infini lorsque la vitesse de la particule matérielle approche celle de la lumière :

où γ est le facteur de Lorentz. On remarquera que la fréquence d’une particule augmente dans le même rapport que le temps t de l'observateur au temps propre selon la transformation de Lorentz:

alors qu’à première vue, ce devrait être l’inverse, le temps étant l'inverse d'une fréquence !

Les théories des quanta et de la relativité restreinte ont pour conséquence, lorsqu’on les conjugue, l’existence d’une "vibration" ou oscillation ou gyration interne à toute particule matérielle, de fréquence croissant avec sa vitesse selon la relation donnée plus haut.

Hypothèse de conservation de la phase

De Broglie fait l'hypothèse dite de "l'harmonie des phases" (thèse, p 35 Louis de Broglie, Recherches sur la théorie des Quanta, numérotation en haut de page), où le "phénomène périodique" de fréquence ν’ dans le référentiel propre R’ de la particule est "constamment en phase avec une onde se propageant dans la même direction que le mobile".

L’amplitude de ce phénomène périodique est, à un coefficient près, représenté par une "fonction sinusoïdale" avec une phase nulle au départ :

Dans le référentiel R du laboratoire, v est la vitesse de la particule, x son abscisse et t le temps de l’observateur, mesuré par une horloge du laboratoire. Appliquons la transformation de Lorentz du temps pour obtenir le temps propre t' à partir du temps t du laboratoire :

En remplaçant t’ par cette expression, l’amplitude de l’onde s’écrit, en utilisant le temps t de l’observateur

Or, selon la définition de la phase, l’amplitude d’une onde de vitesse de phase  s’écrit :

Les deux expressions précédentes représentent le même phénomène dans le référentiel R’, on a en les identifiant :

où  Ondes et quanta, Ondes et quanta, C. R. Acad. Sci., 177, 1923, p. 517-519. La vitesse c de la lumière est donc la moyenne géométrique des vitesses v de la particule et de phase  de l’onde associée. Comme la vitesse de la particule ne peut dépasser la vitesse de la lumière c, la vitesse de phase  lui est supérieure. Ce n’est pas contradictoire avec la relativité puisque la vitesse de phase correspond à la vitesse de transmission des zéros de l’onde où, l’amplitude étant nulle, il n’y a pas transmission d’énergie. Une vitesse de phase supérieure à celle de la lumière est bien connue dans les guides d’ondes. Chacun peut observer un phénomène analogue au bord de mer: une vague peut déferler le long d’une digue à une vitesse supérieure à sa vitesse propre perpendiculaire à la digue.

L’identification des mêmes formules donne aussi la fréquence ν dans le référentiel R de l’observateur :

On retrouve, sans faire appel à la notion de masse relativiste, la formule du paragraphe précédent, avec un décalage vers le « bleu » lorsque la vitesse v croît.

Longueur d'onde de Broglie

La longueur d’onde étant le rapport de la vitesse de phase  à la fréquence ν, en utilisant maintenant

on a

En utilisant la quantité de mouvement p = mv, on obtient la relation relativiste de Broglie :

Davisson et Germer ont fait diffracter des électrons par un réseau cristallin et vérifié la formule de Broglie de la longueur d’onde associée à un électron. A chaque masse et chaque vitesse sont donc associées une fréquence ν, proportionnelle à la masse relativiste, et une longueur d’onde λ. Au repos, la vitesse étant nulle, la longueur d'onde est infinie et la fréquence, comme la masse, minimale.

En résumé, Broglie a émis l’hypothèse que la fréquence de vibration associée à une particule par la relation d’Einstein-Planck correspondait à une véritable onde ayant une vitesse de phase. La transformation de Lorentz donne la relation entre la vitesse de la particule et la vitesse de phase, dont la moyenne géométrique est la vitesse de la lumière. De Broglie a obtenu la longueur d'onde, rapport de la vitesse de phase à la fréquence. De Broglie n'a fait aucune hypothèse sur la nature de l'onde, encore inconnue, qui pourrait être gravitationnelle, électromagnétique ou autre. C'est, actuellement, l'hypothèse probabiliste de Born qui est retenue.

Relation de Heisenberg

Comme on ne peut séparer en deux un photon unique, on obtient le chemin suivi dans l'expérience des fentes d'Young en plaçant un détecteur dans chacun des deux faisceaux, à la sortie de chaque trou. On constate que le photon se dirige aléatoirement dans chacune des voies. Le photon, s’il est détecté, est détruit ou, éventuellement, modifié avec son onde. L’interférence disparaît donc aussi. L'expérience du microscope d'Heisenberg consiste à observer un électron avec un microscope afin de déterminer sa position et sa vitesse. Pour observer l'électron, il faut l'éclairer avec de la lumière qui va interagir avec l'électron par effet Compton, le déplacer et lui conférer une vitesse supplémentaire, ce qui détruit l’interférence. Imaginons qu’on ait mesuré la quantité de mouvement p = mv d’un électron, par exemple par sa tension d’accélération. Pour obtenir sa position, nous allons le photographier, ce qui nécessite de l’éclairer avec un photon de longueur d’onde

selon la relation de Broglie.

Considérons maintenant un microscope optique dont le pouvoir séparateur est donné par la formule d'Airy et ne peut être inférieur à la limite de Rayleigh ou du quart de longueur d'onde. La précision sur la position x est donc :

soit

ce qui est pratiquement la relation d’Heisenberg (Berkeley physique quantique, armand colin, 1967, p 224) :

Équations des ondes de matière

Équation des ondes de Broglie

Considérons l’équation de propagation (équation de d’Alembert) des ondes de vitesse de phase 

où Ψ(x, t) est l’amplitude de l’onde, appelée aussi fonction d’onde de probabilité. On a vu que la vitesse c de la lumière est la moyenne géométrique des vitesses de phase  des ondes de Broglie et de la vitesse v de la particule selon la relation :

On peut donc écrire l’équation des ondes de matière sous la forme

Équation de Klein-Gordon

L’équation des ondes de Broglie peut aussi s’écrire, en mettant à droite la vitesse de la particule :

En utilisant la relation de Planck-Einstein

la vitesse disparaît et l’équation des ondes de Broglie devient

Pour des ondes quasi-monochromatiques et quasi-stationnaires, la fonction d’onde est sinusoïdale en fonction du temps :

Ψ(x, t) = φ(x) sin(ωt)

où la pulsation ω = 2πν, varie avec la vitesse v selon la relation :

Sa dérivée partielle seconde par rapport à t est :

En utilisant cette expression dans le second membre seulement de l’équation des ondes de Broglie, la fréquence angulaire ou pulsation, variable,  disparaît mais il reste la fréquence  de la particule au repos :

Pour un photon, de masse au repos  nulle, on retrouve l’équation classique des ondes lumineuses, le second membre étant nul. C'est l'équation de Klein-Gordon en quatre dimensions. La constante

est le rayon de Compton et  la longueur d'onde de Compton de la particule. Lorsque  est la masse  de l’électron, on trouve un rayon de Compton de l’électron de l’ordre du centième de celui de Bohr mais cent fois son rayon classique.

Le d'alembertien (symbole ⟡) est la généralisation à quatre dimensions du laplacien, donc avec le même signe que le laplacien au lieu, parfois, du signe opposé. Son écriture explicite en utilisant la variable w=ict est, en quatre dimensions où le temps est une pseudo-dimension spatiale:

On peut encore l'écrire, en utilisant le laplacien  :

Le d'alembertien est invariant dans la transformation de Lorentz et le second membre se transformant comme un champ scalaire, l’équation de Klein-Gordon est invariante dans la transformation de Lorentz, donc relativiste. Elle a été découverte par de Broglie en 1925 (Sur la fréquence propre de l'électron, C. R. Acad. Sci., 180, 1925, p. 498-500.), mais avec, au second membre, un signe moins.

Schrödinger en a fait l’approximation non relativiste et stationnaire, plus facile à résoudre, qui porte son nom.

Équation de Schrödinger indépendante du temps

Reprenons l'équation de Klein-Gordon :

Lorsque les ondes sont vraîment stationnaires et monochromatiques, la fonction d’onde est le produit de deux fonctions sinusoïdales, l’une des coordonnées, l’autre du temps :

Ψ(x, t)=φ(x)sin(ωt).

d'où :

L'équation de Klein-Gordon devient :

Au lieu des pulsations, utilisons les masses en mouvement et au repos. Avec la relation de Planck-Einstein :

on a :

ou

Or l'énergie cinétique relativiste est

où E est l'énergie totale mécanique et V l'énergie potentielle. Dans l'hypothèse des vitesses petites devant celle de la lumière, on a :

L'équation des ondes stationnaires devient alors l'équation de Schrödinger indépendante du temps

Les calculs précédents montrent que l’équation de Schrödinger n’est pas un postulat mais une approximation non relativiste et stationnaire de l’équation de d'Alembert appliquée aux ondes de Broglie définies par λ = h/p.

N.B. Il s'agit ici de l'équation stationnaire ou indépendante du temps et non l'équation de Schrödinger d'évolution qui "ne se démontre pas", simplement parce que sa "démonstration" qu'on trouve parfois dans certains ouvrages, est fausse.

Équation de Schrödinger dépendant du temps

L’équation de Schrödinger dépendant du temps est appelée aussi équation de Schrödinger de seconde espèce ou d’évolution car elle n’est pas stationnaire. Elle servirait à étudier les phénomènes transitoires comme les transitions optiques.

L’équation de Schrödinger dépendant du temps en trois dimensions d’espace, sous sa forme "moderne" s'écrit :

où  est le laplacien.

Cette équation est imaginaire dans les deux sens du terme.  Elle serait un postulat car "elle ne se démontre pas"  (Cohen-Tannoudji, prix Nobel) et pour cause, puisqu'elle est fausse.  D'après Wikipedia: "On nomme postulat (du latin "postulare" qui signifie "demander") un principe non démontré utilisé dans la construction d'une théorie mathématique". Une équation compliquée n'étant pas un principe, ne peut donc être un postulat.

Onde pilote, ou onde tout court ?

La théorie de l'onde pilote n'est certes pas à la mode mais on peut retenir son principe philosophique sans entrer dans le détail des équations. Celles qui sont données ci-dessus restent valables. Cette idée a été reprise par Born qui l'a transformée en onde de probabilité, faute de mieux puisqu'on ne connait pas sa nature physique. Il est toutefois certain qu'une onde est associée à toute particule en mouvement même si on ne peut dire si c'est la particule qui pilote l'onde ou l'inverse, et encore moins que la "particule" existe, alors que l'existence de l'onde est prouvée par exemple par la diffraction des électrons par les cristaux. En effet, toute l'affirmation de "particules" et de "aspects corpusculaires", repose sur le postulat préalable et clandestin que "Il n'y a pas d'absorbeurs". Postulat qui n'a jamais été validé.

"Craignant les critiques que ne manquerait pas de soulever l'exposé d'une théorie insuffisamment fondée, il adopte un point de vue qu'il qualifie lui-même de « mitigé » : il place d'autorité le corpuscule au sein de l'onde et suppose qu'il est entraîné comme une particule d'un fluide dont la masse volumique serait égale au carré du module de la fonction d'onde. C'est la théorie de l'onde pilote, théorie généralisant l'image hydrodynamique de Madelung, qui préserve la notion de corpuscule localisé dans l'espace, mais qui se borne à constater le dualisme onde-corpuscule sans en préciser la nature." 
Germain (Louis de Broglie ou la passion de la « vraie » physique).

Light invariance principle

Galilean reference frames

In classical kinematics, the total displacement x in reference frame R is the sum of the relative displacement x’ in R’ and of the displacement vt of R’ relative to R at a velocity v : x = x’+vt or, equivalently, x’=x-vt. This relation is linear when the velocity v is constant, that is when the frames R and R' are galilean. Time t is the same in R and R’, which is no more valid in special relativity, where t ≠ t’. The more general relationship, with four constants α, β, γ and v is :

The Lorentz transformation becomes the Galilean one for β = γ = 1 et α = 0.

Light invariance principle

The velocity of light is independent of the velocity of the source, as was shown by Michelson. We thus need to have x = ct if x’ = ct’. Replacing x and x' in these two equations, we have

Replacing t' from the second equation, the first one becames

After simplification by t and dividing by cβ, one obtains :

Relativity principle

This derivation does not use the speed of light and allows therefore to separate it from the principle of relativity. The inverse transformation of

is :

In accord with the principle of relativity, the expressions of x and t should be the same when permuting R and R' except for the sign of the velocity :

and

Identifying the preceding equations, we have the following identities, verified independently of x’ and t’ :

This gives the following equalities :

Expression of the Lorentz transformation

Using the above relationship

we get :

and, finally:

We have now all the four coefficients needed for the Lorentz transformation which writes in two dimensions :

The inverse Lorentz transformation writes, using the Lorentz factor γ :

These four equations are used according to the needs.

Suivi de la radioactivité à Paris

J'ai suivi, après Fukushima, la radioactivité à Paris Bercy sur Excel que je peux vous fournir si vous êtes intéressé. J'ai commencé les mesures peu après Fukushima, en mars 2011. J'ai arrêté un an après. 

Je  moyenne sur 6 mesures, une fois par jour, sauf exception, soit lorsqu'il y a un risque d'augmentation où j'augmente la cadence des mesures soit aucune mesure quand je suis en voyage.

La dispersion est énorme mais, contrairement à l'IRSN, je moyenne sur 6 mesures puis je trace une courbe de régression à 6 paramètres grâce aux possibilités d'Excel. J'ai fait des mesures dans l'aéroport d'Osaka où la radioactivité est presque le double de chez nous. En altitude, à 10 km, on sort du graphique, la radioactivité, y est 10 fois plus forte; sur la Sibérie (à cause des essais nucléaires?), elle double encore. 

La radioactivité naturelle en France est comprise entre 1 et 6 mSv/an, soit 0,1 à 10 microsievert par heure en accord avec le graphique ci-dessus, pour la valeur minimale, mesurée à Paris.

La dose officielle de la dose environnementale serait de 10  microsievert par an , sans doute par heure. 

Celle d'un technicien du nucléaire serait de  2 mSv/an, 200 fois la radioactivié naturelle.

En cas d'incident, on multiplie par 10 et encore par 50 ou plus, en cas d'accident.

Voici les mesures de l'IRSN à la Rapée près du pont Charles de Gaulle, à Paris

Accélération de Coriolis

Accélération de Coriolis

 

L'accélération de Coriolis est un terme d'accélération qui intervient lorsque l'on étudie le mouvement d'un corps se déplaçant dans un référentiel en rotation par rapport au référentiel galiléen.

On lui fait souvent correspondre une force fictive correspondante afin de pouvoir continuer à étudier le corps considéré dans son référentiel en rotation (pour simplifier la résolution).

Calcul de l'accélération de Coriolis (Smith P.,Smith R.C., Mechanics, Wiley)

Soit  le rayon vecteur du point considéré dans le référentiel absolu R d/dt l'opérateur dérivée totale dans R,l'opérateur dérivée relative dans le référentiel en mouvement R' et  le vecteur vitesse de rotation instantanée. L'opérateur dérivation totale s'écrit alors selon la formule de Varignon:

Cette expression peut se mettre au carré:

On remarque que, si la vitesse de rotation  est constante, on retrouve la formule , ce qui explique le coefficient 2 de l'accélération de Coriolis.

On peut maintenant appliquer l'opérateur dérivée totale seconde au rayon vecteur :

On distingue

l'accélération absolue

est la somme de quatre termes, l'accélération relative,

l'accélération tangentielle,

l'accélération de Coriolis:

et l'accélération centripète (égale et opposée à l'accélération centrifuge)

Il est inutile de faire intervenir une force fictive, l'accélération de Coriolis est purement cinématique

La somme de l'accélération tangentielle et de l'accélération centripète est l'accélération d'entraînement.

Interprétation

L'accélération de Coriolis permet l'interprétation de beaucoup de phénomènes à la surface de la Terre : par exemple le mouvement des masses d'air et des cyclones, la déviation de la trajectoire des projectiles à grande portée, le changement du plan de mouvement d'un pendule tel que montré par Foucault dans son expérience de 1851 au Panthéon de Paris, ainsi que la légère déviation vers l'est lors de la chute libre.

Equation de Schrödinger d'évolution

 La mécanique quantique est généralement fondée sur l'une ou l'autre des deux équations de Schrödinger, l'une, stationnaire

où l'énergie cinétique est T=E-V. E est l'énergie mécanique totale et V l'énergie potentielle. L'autre équation, dite d'évolution est

Pour la démontrer, Schrödinger part de son équation stationnaire (il prend une masse unitaire m=1, ce que nous ne faisons pas ici). Par contre, pour simplifier le calcul, nous prenons une particule libre pour laquelle V=0.

E est le "paramètre d'énergie ou de fréquence". Il prend une onde monochromatique de fréquence

soit

C'est une hypothèse hardie car

est l'énergie totale relativiste. D'où la dérivée

et

On peut donc remplacer psi dans l'équation stationnaire, en haut de page:

Après simplification, on obtient l'équation d'évolution:

L'énergie E a disparu, d'où son intérêt. L'équation complète, en trois dimensions et avec le potentiel (inchangé dans l'opération précédente) s'écrit:

Cette équation est l'équation officielle de Schrödinger. 

Les deux équations de Schrödinger

Malheureusement, l'équation d'évolution est entachée d'une erreur comme l'a dénoncé de Broglie ("Théorie de la Quantification dans la nouvelle Mécanique", Hermann, 1932 p. 5) en ces termes "Quand on développe la théorie d'une façon conforme aux idées relativistes, on doit égaler hν non pas à E, mais à l'énergie totale E + m₀c² d'énergie interne". En effet (voir plus haut), on a pris pour E l'énergie potentielle mécanique classique au lieu de l'énergie totale relativiste. Cette erreur est maintenant camouflée dans des équations invérifiables.

Lorsqu'on dit "équation de Schrödinger" on ne sait jamais de laquelle il s'agit car elles sont deux, l'une, stationnaire, se démontre à partir de l'onde de de Broglie. L'autre, appelée d'évolution, "ne se démontre pas" (Cohen-Tannoudji); elle est sans doute sortie tout armée du crâne de Zeus. C'est irrationnel. Prudemment Platrier dit qu'elle "a été introduite par des raisonnements assez vagues et des comparaisons assez imprécises". Plus récemment Elbaz dit qu'il s'agit "d'une hypothèse non naturelle". Basdevant reprend le raisonnement de Schrödinger ν = E/h puis E = p²/2m où p = mv.

Ci-dessous le calcul original de Schrödinger où, dans l'équation (9) E est l'énergie mécanique newtonienne alors que, dans (11) E est l'énergie einsteinienne E = mc² = hν :

Annalen der Physik, vol.81, 1926 (traduit en français sous le titre Mémoires sur la mécanique ondulatoire, 1933)

Il a manifestement fait une erreur en confondant l'énergie classique et l'énergie relativiste. C'est pourquoi Sommerfeld a dit que la "nouvelle" mécanique quantique est "incompréhensible" d'autant qu'elle utilise un "formalisme" basé sur des règles ad hoc et des symboles bizarres comme les bra et les kets de Dirac, les matrices de Heisenberg… C'est au moment des années folles que la physique théorique qui se qualifie de "moderne" (les non-croyants sont taxés de ringards) a commencé à délirer.

Cette équation est imaginaire dans les deux sens du terme. Autrement dit, elle est fausse. Elle serait un postulat car "elle ne se démontre pas"  (Cohen-Tannoudji, prix Nobel).  d'après Wikipedia: "On nomme postulat (du latin "postulare" qui signifie "demander") un principe non démontré utilisé dans la construction d'une théorie mathématique". Une équation n'étant pas un principe, ne peut donc être un postulat.

Le spin, la relativité et la mécanique quantique

Spin du photon

D'après l'équivalence de l'énergie et de la masse, selon les relations de Planck E = hν  et d'Einstein E=mc² , le photon peut être considéré comme une petite masse (en mouvement à la vitesse c de la lumière) tournant aussi à la vitesse c de la lumière à l'extrémité de son rayon théorique obtenu en faisant l'hypohèse que la longueur d'onde de matière est égale à la longueur de la circonférence. C'est la même hypothèse qu'a utilisé de Broglie pour obtenir le rayon de Bohr de l'atome d'hydrogène :

On en déduit le moment cinétique angulaire du photon

Le photon, selon Y. Rocard, peut donc être modélisé comme un anneau en rotation de masse  en accord avec  son spin un. "Il faut bien dire que ces images géométriques trop précises ne sont pas appréciées des physiciens modernes" (Rocard, Y, Thermodynamique, Masson, 1957, p. 250).

Spin de l'électron

Lorentz avait affirmé qu'un électron ayant un rayon dit "classique" aurait une vitesse superficielle environ dix fois celle de la lumière. En fait il n'avait pas tenu compte de la variation de la masse avec la vitesse et en avait conclu que la vitesse périphérique de l'électron dépasserait largement celle de la lumière (un comble pour un des fondateurs de la relativité et théoricien de l'électron!).  Uhlenbeck et Goudsmit ne s'en sont pas non plus aperçus (voir Sources et évolution de la physique quantique par Escoubès et Lopes, EDP Sciences, p 80).

Le calcul ci-après montre qu'on obtient, en appliquant la relativité, avec une vitesse circonférentielle égale à celle de la lumière, un rayon plus grand que le rayon classique e²/(4πε₀mc²), celui de Compton de l'électron R_C=h/(2πmc).

Calcul relativiste

MacGregor, dans son livre, The Enigmatic Electron⁶, montre qu'il faut tenir compte de la variation relativiste de la masse avec la vitesse de rotation. Il fait l'hypothèse que la vitesse équatoriale de l’électron au repos est égale à la vitesse maximale possible, celle c de la lumière. Calculons la masse m observée d'une sphère pleine (une boule) de rayon R en rotation relativiste à la vitesse  où r est la distance au centre et  ω la vitesse angulaire supposée constante selon le rayon, c'est-à-dire que l'électron est un solide rigide et non un fluide. Soit  la masse spécifique à la distance r de l'axe de rotation et  sur l'axe de rotation où la matière est au repos, la vitesse angulaire y étant nulle. Le volume étant inchangé car donné par le rayon R, la masse spécifique relativiste est :

La hauteur du cylindre élémentaire est h. La vitesse linéaire de rotation, , est égale à c sur l'équateur, ce qui donne la vitesse angulaire . On a donc, en tenant compte de la variation relativiste de la masse, sachant que  :

On calcule de même le moment d’inertie relativiste de la sphère pleine (boule), assez peu différent du moment classique  :

La simplification est cruciale dans ce calcul, pratiquement inextricable dans le cas général. La relation d'Einstein-Planck donne la fréquence propre  de l'électron. En l'identifiant à sa vitesse de rotation angulaire , on a :

On obtient pour l'électron un rayon différent du rayon "classique"

 est le rayon de Compton, celui-là même qui apparaît dans l'équation de Klein-Gordon et, bien sûr, dans l'effet Compton. MacGregor obtient ainsi le moment cinétique intrinsèque de l’électron :

en accord avec l'observation. Cela donne un spin de 1/2 en unités de .

Ce calcul a été fait pour un électron en rotation mais avec son axe au repos. Il serait à revoir pour un électron en mouvement quelconque relativiste. Le modèle de la toupie pour le spin de l'électron semble en accord à la fois avec les théories relativiste et quantique. La difficulté signalée au paragraphe précédent est résolue en tenant compte de la variation relativiste de la masse en rotation et en assimilant la vibration de l'électron à une rotation.

Il reste toutefois à mesurer directement le rayon encore inconnu de cette particule élémentaire pourtant connue depuis un siècle. On considère actuellement que son rayon est nul ce qui exigerait que sa masse le soit aussi. On peut évacuer le problème en assénant qu'une particule élémentaire n’a pas de taille, que le spin est un objet purement quantique, que l'usage du mot spin est historique et que le modèle de la toupie est dépassé, remplacé par celui de Dirac.

Moment magnétique

Le spin est relié au moment magnétique d'une particule chargée comme l'électron, le proton et même le neutron qui contient des charges électriques de somme nulle. La rotation des charges électriques génèrent un courant circulaire produisant un moment magnétique. Une hypothèse simple consiste à supposer que le courant électrique est circulaire mais il peut aussi être réparti en surface ou dans tout le volume de la particule. Le moment magnétique correspondant est donné par la formule où on remarque que le moment magnétique ne dépend d'aucune masse:

de période

Finalement:

Le moment cinétique étant

le moment magnétique est

Cette fois la masse apparaît, en fait deux fois, l'une au numérateur, dans L et au dénominateur. Ce n'est évidemment qu'un artifice. D'après le postulat de Bohr le moment cinétique est quantifié et égal à pour une trajectoire circulaire, ce qui est le cas pour l'électron dans l'orbitale fondamentale de l'atome d'hydrogène. Cependant, l'électron a un moment cinétique intrinsèque moitié du moment orbital. Pourtant, les moments magnétiques orbital et intrinsèque de l'électron sont égaux à 1/1000e près. On sait mesurer un moment magnétique mais apparemment pas un moment cinétique angulaire et, a fortiori un spin sinon, sauf erreur, d'après le fractionnement des raies spectrales. Le moment magnétique orbital de l'électron est appelé magnéton de Bohr:

Le moment magnétique intrinsèque de l'électron est pratiquement égal au magnéton de Bohr :

où g=2.00232 est un nombre sans dimension, le facteur de Landé ou facteur g, parfois confondu avec le rapport gyromagnétique . La masse y apparaît car elle n'intervient plus au numérateur grâce à la constante universelle de Planck, indépendante de la masse. Le facteur de Landé du moment orbital, le magnéton de Bohr, est de un. Cela ne veut pas dire que le moment magnétique intrinsèque est le double du moment magnétique orbital, c'est le spin intrinsèque qui est moitié du spin orbital. Lorsque g ≠ 1, on dit que g est anormal. L'anomalie est a = (g - 2)/2. L'anomalie intrinsèque de l'électron est de 0,00116. Le proton et le neutron ont des anomalies importantes respectivement de 2,8 et -1,9 unités atomiques basées sur le magnéton nucléaire qui remplace celui de Bohr en physique nucléaire mais n'a pas d'existence réelle. Ces fortes anomalies peuvent s'interpréter par la répartition des charges et/ou des masses à l'intérieur des nucléons.

Atomes polyélectroniques (à vérifier et compléter)

Le moment magnétique intrinsèque de l'électron est une constante, au contraire du moment magnétique orbital qui dépend du rayon selon la formule

où n est le nombre quantique principal du niveau concerné. Pour n=1 on a un moment cinétique non nul, ce qui a fait dire que la théorie de Bohr était fausse et que l'électron ne tournait pas autour du noyau. On a confondu moment cinétique et moment magnétique qui sont généralement proportionnels. Je n'ai vu nulle part de moyen de mesurer le moment cinétique d'une particule. On additionne les moments cinétiques des électrons dans l'atome. C'est comme si on additionnnait les moments cinétiques des roues d'une voiture pour obtenir celui de la voiture, pourtant nul lorsqu'elle se déplace en ligne droite. La notion de moment angulaire d'un atome semble donc absurde. On esquive le problème en disant que le spin est un concept purement quantique. Cependant, dans l'état fondamental de l'atome d'hydrogène, les moments magnétiques orbital et intrinsèque de l'électron sont égaux et opposés d'où l'absence de moment magnétique résultant dans l'état fondamental. On ne devrait pas utiliser cette notion de spin mais se baser sur des données mesurables, ici le moment magnétique.

Principe d'exclusion de Pauli et règle de Hund

La physique moderne est basée sur de nombreux principes ad hoc et phénomènes virtuels. On propose ici une signification physique de deux de ces principes qui ne semble pas encore avoir été trouvée. Ce serait important pour savoir dans quelles conditions ils s'appliquent.

Le principe de Pauli s'applique en général aux fermions c'est-à-dire aux particules qui possèdent, entre autres, un moment magnétique: ce sont des aimants microscopiques. Le principe d'exclusion de Pauli(Wolfgang Pauli ; Zeitschrift fur Physik 31 (1925) 373) et la règle de Hund s'expliquent en faisant intervenir le magnétisme. En effet on peut constater que deux boussoles coaxiales (de préférence une grande et une petite) mises l'une sur l'autre s'alignent en sens contraire. Une troisième sera peu influencée par les deux premières car le moment magnétique résultant est nul. Cela explique le principe d'exclusion où deux électrons peuvent s'apparier.

Lorsqu'il y a plusieurs électrons dans une orbitale, leurs moments magnétiques vont s'orienter parallèlement au champ magnétique environnant comme des boussoles suffisamment éloignées pour que le champ magnétique d'interaction soit négligeable par rapport au champ environnant, par exemple le champ magnétique terrestre. Lorsque le nombre d'électrons dans une orbitale augmente encore, ils vont se rapprocher et vont se coupler avec leurs moments magnétiques opposés, conformément au principe d'exclusion et le nombre maximal d'électrons dans une orbitale sera toujours un nombre pair. C'est la règle de Hund.

Il reste tout de même un problème: si les électrons s'attirent ils risquent de fusionner. On pourrait dire qu'ils se repoussent électrostatiquement mais ce n'est pas tout à fait satisfaisant car le potentiel de répulsion électrostatique est en 1/r alors que le potentiel d'interaction entre deux dipôles magnétiques est en 1/r³ et attractif s'ils sont opposés selon le principe d'exclusion. Dans le modèle de Bohr de l'atome planétaire, l'attraction des deux électrons de spins opposés, donc de moments magnétiques également opposés, serait équilibrée par la force centrifuge.

La physique quantique a besoin d'une remise à plat où les principes ad hoc auront une base physique. Par exemple la notion de spin devrait être remplacée par celle de moment magnétique chaque fois que possible. De toutes façons, quand on parle de spin (non mesurable), il s'agit en fait de moment magnétique (mesurable). Il semble qu'on puisse mesurer le spin par résonance magnétique mais ce n'est pas très clair. Physiquement, le spin est positif quand les charges électriques le sont, comme dans le proton. Inversement, le moment magnétique de l'électron est négatif car ses charges sont négatives. En fait, le signe du moment magnétique n'a pas de sens car il suffit de le retourner pour le rendre positif ou négatif: il n'y a pas de repère dans l'espace pour déterminer son signe qui n'est qu'une convention sans doute nécessaire pour tenir compte du sens de rotation. En permutant à la fois le sens de rotation de la particule et le signe de sa ou ses charges électriques, on ne change pas le signe du moment magnétique. Le neutron n'est pas tout à fait neutre puisqu'il contient des charges électriques de somme nulle. Son moment magnétique est négatif, ce qui s'explique par le fait expérimental que les charges négatives sont sur la périphérie et les charges positives plutôt vers le centre. Le courant électrique produit par les charges négatives est circonférentiel, donc supérieur à celui produit par les charges positives, centrales ce qui produit un moment magnétique opposé à celui du proton, plus faible en valeur absolue. Pour connaître le moment cinétique, ce sont les masses qui interviennent. Malheureusement, pour connaître le moment cinétique, il faut connaître la distribution des masses. Heureusement on sait théoriquement que c'est, pour une particule, un multiple demi entier de la constante de Planck réduite h/2π. En pratique il vaudrait mieux se baser sur le moment magnétique, généralement mesurable.

Noyaux atomiques

Le proton et le neutron ont un moment magnétique et un spin de 1/2. Un noyau atomique a aussi un spin qui serait la somme des spins des nucléons appariés selon le principe d'exclusion, les neutrons entre eux et les protons entre eux. On en déduit que les noyaux ayant à la fois un nombre N pair de neutrons et Z pair de protons (noyaux pair-pair) ont un spin nul donc pas de moment magnétique. Malheureusement personne ne semble avoir essayé de le vérifier expérimentalement tant la confiance dans le modèle en couches du noyau atomique est grande. Voir aussi ma page sur la physique nucléaire. Il est assez bizarre qu'on puisse additionner les spins qui sont des moments cinétiques (moment angulaire); c'est comme si on additionnait les moments cinétiques des roues d'une voiture pour connaître son moment cinétique, évidemment nul lorsque la voiture se déplace en ligne droite.

Expérience de Stern et Gerlach

Cette expérience consiste à envoyer des atomes d'argent dont le moment magnétique est celui de l'électron célibataire entre les pôles nord et sud de deux aimants colinéaires et parallèles. Elle est équivalente à celle qui consiste à laisser tomber un petit aimant entre les fers de deux autres aimants plus gros. On constate que le petit aimant s'accroche à l'un ou l'autre des pôles des fers des deux gros aimants selon qu'il tombe plus près de l'un ou de l'autre. Le petit aimant est dévié dans un sens ou dans l'autre selon qu'il passe près d'un pôle ou de l'autre. En effet, le champ magnétique n'est jamais uniforme. Dans l'expérience de Stern et Gerlach on crée un gradient connu grâce à des pôles modifiés, l'un en creux et l'autre en pointe dont voici le dessin qu'on trouve ici

On remarque que les taches ne sont pas des points, mais une surface dans l'hypothèse "classique" ou des courbes dans l'expérience "quantique".  La déviation diminue avec l'abscisse x, donc avec le champ magnétique et son gradient. D'après la théorie dite "classique", selon la légende de la figure, il devrait y avoir des atomes de déviation nulle au centre de la tache. Ce serait à vérifier expérimentalement sur des aimants, petits mais macroscopiques, par exemple à l'aide de petites billes magnétiques qu'on laisse tomber entre deux aimants. La difficulté consiste dans la construction d'un dispositif mécanique suffisamment précis.

Je n'ai trouvé ni calcul clair ni expérience prouvant la forme de la tache dans le cas d'un aimant macroscopique.

Le gradient est nul au centre où le champ est uniforme. Le champ croît vers les pôles où il n'est plus uniforme. Lorsqu'on fait tomber une petite bille aimantée entre les deux pôles, on constate que la bille est déviée d'un côté ou de l'autre, jamais au milieu. Evidemment des mesures précises seraient nécessaires. Si on admet ce résultat, on ne peut pourtant pas en conclure que la bille a un spin quantique.  En réalité le phénomène est le même que l'on ait affaire à un électron ou un petit aimant macroscopique. Il suffit de raisonner en terme de magnétisme dans les deux cas. La mécanique quantique n'intervient qu'au niveau du calcul du moment magnétique du spin de l'électron.

Pour plus de détails

Conclusion

Le calcul relativiste a été fait pour un électron en rotation mais avec son axe au repos (vitesse linéaire nulle). Il serait à revoir pour un électron en mouvement quelconque relativiste. Le modèle de la toupie pour le spin de l'électron semble en accord à la fois avec les théories relativiste et quantique. La difficulté due à la vitesse supposée supérieure à celle de la lumière est résolue en tenant compte de la variation relativiste de la masse en rotation et en assimilant la vibration de l'électron à une rotation.

Il reste toutefois à mesurer directement le rayon encore inconnu de cette particule élémentaire dont l'existence est connue depuis un siècle. La vision "moderne" du spin affirme qu'une particule élémentaire n’a pas de taille, que le spin est un objet purement quantique, que l'usage du mot spin est historique et que le modèle de la toupie est dépassé, remplacé par celui de Dirac, incompréhensible. Lorsque la représentation du spin par la toupie est utilisée, la personne qui le fait, souvent avec un geste de la main, s'empresse ensuite de préciser que ce n'est pas conforme à la mécanique quantique. En fait il s'agit d'un aveu d'ignorance, comme au Moyen-âge où les scolastiques expliquaient qu'une pierre tombe parce qu'elle est lourde. Les théoriciens d'aujourd'hui nous assènent que le spin est un objet purement quantique parce qu'ils ont voulu une rupture avec la mécanique classique mais ne peuvent s'en passer. Si la mécanique quantique est incompréhensible, c'est bien qu'il y a un problème, celui des théoriciens déconnectés de la réalité expérimentale.

The spin, relativity and quantum mechanics

Spin of the photon

According to mass-energy equivalence and to the Planck

and Einstein

formulae, the photon may be considered as a small mass

concentrated in a ring of radius r. It moves at the velocity c of light and rotates at the velocity of light. The linear and rotational velocities add according to the Lorentz transformation thus limiting the maximum velocity to c.

One deduces the angular momentum of the photon:

The photon, according to Rocard (Rocard, Y, Thermodynamique, Masson, Paris, 1957, p. 250) may thus be modelled as a rotating ring of mass

Spin of the electron

The electron, has a mass at rest and a variable velocity; therefore the calculation is more complicated than for the photon. MacGregor, in his book, The Enigmatic Electron (MacGregor M.H., The Enigmatic Electron, Kluwer, Dordrecht, 1992), shows that one has to take into account the relativistic variation of the mass due to the rotation. He assumes that the velocity at the equator of the spherical electron is equal to c, the light velocity. Therefore, according to relativity, the density varies in the electron from center to equator. Let us compute the mass m of a sphere (ball with no empty interior) with radius R in relativistic rotation at velocity  Assuming that the electron is a rigid solid, with infinite mechanical strength, the angular velocity  is constant along the radius. The relativistic specific mass is  at a distance r from the center of the axis of rotation and  on the axis. If the radius of the electron is unchanged We have:

Let us consider an elementary cylinder of height h. The linear velocity of rotation at a distance r from the axis is

Being c at the equator, the angular velocity is 

The mass of the sphere is then, knowing that  :

The same method applies to the moment of inertia:

The relativistic momentum of inertia value is :

not very different from the classical value:

The calculation is intractable in the general case but simplifies crucially in this special case.

The relations of Einstein and Planck give the eigen frequency of the electron 

The vibration may be assimilated to the angular rotation velocity 

The radius of the electron is then the Compton radius:

MacGregor obtains in this manner the intrinsic angular momentum of the electron:

in accord with experiment, giving a spin de 1/2 in units of .

This calculation, as the preceding shows that the angular momentum depends on the mass distribution in the particle still unknown from experiment. The same dependence on the charge distribution happens for the magnetic moment.

Magnetic moment

The spin is related to the magnetic moment of a charged particle such as an electron, a proton or even a neutron. The rotation of the electric charges generates a circular current giving a magnetic moment. A simple assumption is that the electric current is a circle but it may well be distributed in the whole volume of the particle. The corresponding magnetic moment is given by the formula

where the period is

Finally

The angular momentum being

the magnetic moment is

According to the Bohr postulate, the angular momentum is quantized and equal to  for a circular trajectory which is the case for the electron on its orbit in the hydrogen atom. But the electron itself has an intrinsic orbital momentum which is half the orbital momentum although the orbital and intrinsic magnetic moments of the electron are equal in the first order. The orbital and intrinsic magnetic moments of the electron are measurable but it does not seem possible to measure their angular momenta.

Then we have for the orbital magnetic moment or Bohr magneton

and for the intrinsic electron magnetic moment

where g=2.00232. g is called g-factor, Landé factor, sometimes confused with the gyromagnetic ratio . The g of the orbital or Bohr magneton is equal to one. When g ≠ 1, g is called anomalous. The anomaly is defined by a = (g - 2)/2. The intrinsic magnetic moment of the electron is 0.1% larger than the orbital magnetic moment. The anomaly of the electron being small one may conclude that the electric charges are situated on the equator. The proton and the neutron have large anomalies g_p = 2.8 atomic units (au) and g_n = -1.9 au. It means that the electric charges and/or the masses are differently distributed.

General relativity

General relativity

Curved space-time

Curvature of the four-dimensional space-time is the basis of general relativity. A curved space is difficult to conceive particularly the fourth dimension is peculiar. Einstein calls it t=x₄. It seems simpler to consider it as an imaginary number ict where i is the quadratic root of -1 and c the speed of light. Then the space-time has the following four dimensions: (x,y,z,w=ict).

Riemann coordinates

Understanding of general relativity, like restricted relativity, will be easier by using two dimensions (x, y=ict) instead of four. With this representation, we will have a riemannian instead of pseudo-riemannian space. Cartesian coordinates are the most common reference system. The Earth, being spherical, is not a flat space and the Pythagorean theorem is valid only locally. The cartesian frame changes its orientation from place to place but the law of gravity is the same in Paris or in Valparaiso. The Riemann coordinates are local cartesian coordinates. They are such that the Pythagorean theorem is valid even on a curved surface. It is not necessary to know the transformation from curved coordinates to use them. They are not always suitable, for example, it is necessary to compute the Riemann tensor in Gauss (e.g. spherical) coordinates in order to obtain the Schwarzschild metric.

The metric

The metric of a euclidean space represents, in the plane, the Pythagorean theorem.

The metric of a curved surface is, according to Gauss:

where the g_ij are the coefficients of the metric. Every curved surface may be approximated, locally, by the osculating paraboloid, becoming the tangent plane z=0 when the principal curvatures k_x et k_y cancel:

Indeed, in the frame used, the axes Ox and Oy are in the tangent plane z=0, the origin of the coordinates, x=0, y=0 being at the contact point. The Gauss curvature is, by definition, the product of the principal curvatures:

In order to be in Riemann coordinates, it remains to orientate the axes Ox and Oy in such a manner that the metric be diagonal (the computation is given in Bernard Schaeffer, Relativités et quanta clarifiés, Publibook, 2007):

where K= k_xk_y is the Gaussian curvature. In this expression, we have g_xx=1, g_xy=0 and

Riemann tensorIt is not necessary to determine the principal directions to work with the Riemann coordinates since the laws of physics are invariant under a frame change. It is also not necessary to change the scales of the coordinate axes to get a metric with coefficients equal to one. It only assumed that it is always possible to change the coordinates in such a way that the Pythagorean theorem is verified locally, at the contact point, taken as the origin of the coordinates. In Riemann coordinates, all the paraboloids, including the sphere, locally, have the same metric, provided thet have the same Gaussian curvature.

Gauss found a formula of the curvature K of a surface with a computation, complicated in Gaussian coordinates but much simpler in Riemannian coordinates where the curvature and the Riemann tensor are equal (in two dimensions):

Let us check that the Riemann tensor is equal to the total Gauss curvature:

We have also, by partial derivation of the coefficients of the metric:

The same for g_yy

Einstein equations in vacuumWe have obtained a Laplace equation and a Poisson equation.

Einstein's hypothesis is that the curvature of space-time is zero in the vacuum which is thus a flat space. This is true in two dimensions where the Gaussian curvature is zero. In higher dimensions, only the Ricci tensor is zero according to the Einstein equation. In matter, the Ricci tensor is different from zero. We shall not consider this case, here, but it should be considered to describe the universe which contains matter. The Einstein equations are, in the vacuum:

R_ik is a complicated function of the various componants of the Riemann tensorR_ijkl and of the metric g_ik. The Ricci tensor, like the Riemann tensor dépends only on the coefficients of the metric. The Christoffel symbolshttp://en.wikipedia.org/wiki/Christoffel_symbol are then unnecessary intermediaries. In two dimensions, the Ricci tensor has two components each proportional to the single component of the Riemann tensor. Therefore there is only one Einstein equation in two dimensions:

In two dimensions and in Riemann coordinates, the Riemann tensor is equal to the Gaussian curvature K, which is zero in the vacuum. Then the coefficients of the metric have to satisfy the Laplace equation Δg_xx=0 and Δg_yy=0. But, in two dimensions, the Laplace equation diverges unless the coefficients of the metric are constants, corresponding to a pseudo-euclidean space. In three and four dimensions, the Ricci tensor has to be zero, the corresponding space is called Ricci flat. The calculation is too complicated to be given here.

Gravitational waves

Replacing y by ict in the Laplace equation, one obtains the d'Alembert equation of the plane gravitational waves for the coefficients of the metric:

The gravitational waves have not yet been detected.

Einstein and Newton

The two-dimensional Laplace equation may be extrapolated in higher spaces with small curvature. In three dimensions, spherical symmetry and time independent metric, the Einstein equations reduce to the radial laplacian:

 Its solution is the Coulomb potential in 1/r:

The correspondence principle with special relativity will give us the integration constants A and A'. For r=∞, we have:

It should be the Minkowski metric:

where dr/dt = v is the velocity of the particle. Identifying these two metrics, we get A=A'=1. To obtain B', we apply the correspondence principle with the newtonian gravitation of a light particle on a circular trajectory around a highly attracting star similar to a black hole. Then dr=0, the metric is simplified:

For a photon, v=c, ds=0: the length of a light trajectory is zero. It is the shortest way possible. Assuming that this remains true in general relativity, we have the condition:

which gives R=-B'. The trajectory being a circle and the curvature of space small, we may apply newtonian mechanics. The kinetic energy is equal to the newtonian gravitation potential:

where G is the gravitation constant, M the mass of the attracting star and c the speed of light. Replacing R with -B' and v with c, we get:

According to Einstein, the determinant (or its trace for low gravitation) of the metric should be equal to one. This can be shown by solving the four-dimensional Einstein equations for a static and spherically symmetric gravitational field. Therefore we may write B=-B' and obtain an approximation of the Schwarzschid metric:

This metric gives a light deviation by the sun twice as predicted by the newtonian theory or by the first Einstein theory of 1911 where time is dilated by gravitation. In his 1916 theory, gravitation dilates time and contracts space.

See also

Bernard Schaeffer, Relativités et quanta clarifiés, Publibook, paris, 2007.