jeudi 7 mai 2009
La relativité restreinte
Le principe de relativité consiste à dire qu'un mouvement est relatif. Chacun peut s'en rendre compte dans un train en gare où on ne sait pas si c'est lui ou son voisin qui démarre. Au démarrage on peut ressentir une accélération qui indique que c'est nous qui accélérons. Ce qu'on détecte c'est un changement d'accélération par rapport au repos. Pour le comprendre, le plus simple est de partir d'un mouvement loin de toute masse, c'est-à-dire en apesanteur. Pour créer une acélérration, il faut, par exemple, mettre son moteur-fusée en marche. En vertu du théorême de la conservation de la quantité de mouvement, le centre de gravité de l'ensemble va garder la même vitesse constante par rapport à n'importe quel référentiel galiléen. Le passager de la fusée ressentira une accélération mais pas le centre de gravité. En effet le centre de gravité de l'ensemble fusée plus gaz d'échappement reste constant même si la masse de gaz éjecté est faible car leur vitesse est mille fois supérieure à celle de la fusée et sont donc expédiés bien plus loin ce qui permet de garder le centre de gravité de l'ensemble immobile.
Le "paradoxe des jumeaux", imaginé par Langevin, a fait couler beaucoup d'encre et ressemble aux discussions byzantines sur le sexe des anges. En effet il est basé sur la notion de référentiel inertiel, c'est-à-dire à vitesse constante. Mais cela doit être fait par rapport au même référentiel inertiel. Cela est d'ailleurs pratiquement impossible à réaliser. Le fait que l'un des voyageurs est accéléré et pas l'autre est faux puisque le voyageur "immobile" est soumis non seulement à l'accélération centripète due à la rotation de la Terre mais aussi à l'accélération de la pesanteur alors que le voyageur du cosmos est soumis à une accélération non comparable.
Le diagramme ci-après montre comment on passe de la transformation de Lorentz à la relation d'Einstein E = mc², de façon rationnelle. La constance de la vitesse de la lumière ou les équations de Maxwell ont pour conséquence la transformation de Lorentz puis la dilatation du temps et la contraction des longueurs ainsi que la transformation des vitesses et accélérations. En utilisant le temps comme quatrième dimension, on obtient la métrique de Minkowski. La transformation de l’accélération a pour conséquence, associée à la loi fondamentale de la dynamique, la proportionnalité de l'énergie cinétique à la variation de masse multipliée par c². Enfin, avec l’hypothèse supplémentaire que l’énergie contenue dans une masse donnée lui est proportionnelle, on obtient la formule E = mc2.
Tous les détails dans mon livre "Relativités et quanta clarifiés", publié chez Publibook
consultable sur Google livres, Amazon et dans toutes les bonnes
librairies scientifiques ainsi que dans plusieurs dizaines de
bibliothèques universitaires. On trouvera la substantifique moelle de
la relativité restreinte avec une démonstration complète de la formule
E = mc² sur Relativité restreinte Voir aussi la version anglaise.
La relativité restreinte se ramène à la notion d'espace-temps avec une quatrième dimension ict où i est le nombre imaginaire racine carrée de -1, c la vitesse de la lumière et t le temps. On obtient ce résultat rn combinant le principe de relativité, la constance de la vitesse de la lumière dans une relation linéaire qui est la transformation de Lorentz.
dimanche 3 mai 2009
L'atmosphère terrestre et les vents
On peut voir à la télévision ou sur Internet, sur des photos satellites, les dépressions qui nous amènent la pluie et le vent. Les nuages forment des spirales tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre:
Sens de rotation
Le pendule de Foucault oscille dans un plan immobile par rapport aux astres. Il semble tourner en sens inverse de la rotation de la Terre en 24 heures au pôle et en 32 heures à Paris.
L'atmosphère est, dans son ensemble, en équilibre avec la Terre à cause de son frottement avec le sol. A haute altitude, au-delà de 10 km, les jetstreams soufflent à plusieurs centaines de km/h mais n'atteignent pas la vitesse, supersonique, de la Terre à l'équateur (1.667 km/h). Une dépression peut apparaître localement; les molécules se mettent en mouvement sans tenir grand compte de la rotation de la Terre. Comme le pendule de Foucault, elles se déplacent par rapport aux astres. Elles semblent faire un tour en 24 heures au Pôle, en 32 heures à Paris et, de même que le pendule de Foucault, les molécules d'air ne sont pas déviées à l'équateur.
Dans une dépression, comme son nom l'indique, le vent est attiré par les basses pressions qui règnent en son centre alors que dans un anticyclone, le vent est poussé par la pression, maximale au centre de l'anticyclone. Les molécules d'air apparaissent déviées en sens inverse de la rotation de la Terre, c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre. C'est le cas dans les anticyclones où les molécules sont poussées vers l'extérieur. Dans une dépression, les molécules, c'est-à-dire les gouttelettes d'eau des nuages, sont attirées vers l'intérieur de la dépression. Le sens de rotation de la dépression est inversé et se fait alors dans le même sens que la Terre, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre. C'est ce qu'on observe sur les photos satellite.
C'est grâce aux nuages qu'on peut visualiser les dépressions sur les vues satellitaires. Cela s'explique par le fait qu'une dépression produit une détente de l'air et, donc, un refroidissement qui condense la vapeur d'eau en gouttelettes d'eau liquide, visibles sous forme de nuages. C'est rarement possible pour les anticyclones car il y fait généralement un beau temps sans nuage à cause des pressions élevées qui y règnent.
Cyclones et tempêtes
Comme le pendule de Foucault, cyclones et anticyclones subissent la "force" de Coriolis. On peut donc s'attendre à ce qu'une tempête à la latitude de Paris ait la même période de rotation que le pendule de Foucault, soit 32 heures. Celle des hurricanes, près de l'équateur, du côté des Bahamas, serait de l'ordre de 70 heures. La vitesse du vent dans un cyclone est nulle dans son oeil ainsi qu'à grande distance. Il y a donc un rayon pour lequel la vitesse du vent est maximale (de 100 à 300 km/h). Le rayon du cyclone est égal à la vitesse maximale v du vent multipliée par sa période de rotation T et divisée par π. Le diamètre du cyclone est donc, sous nos latitudes, de l'ordre de :
Simulation analogique
On peut visualiser une dépression en regardant tourner un disque par rapport au plancher des vaches: Plancher_immobile
Ensuite, en mettant l'appareil photo sur un trépied posé sur le disque, on voit que c'est le plancher des vaches qui tourne: Plancher_tournant.
Pour les terriens, le plan d'oscillation du pendule de Foucault semble tourner mais reste en réalité fixe par rapport aux étoiles. Il en est de même pour le vent d'une dépression qui souffle, au moins approximativement, en ligne droite par rapport aux étoiles.
Hémisphères Nord et Sud
Voir l'expérience du manège au Palais de la Découverte et aussi Wikipedia.
Un joueur, placé au centre du disque, lance une balle vers un autre joueur assis en face, sur la circonférence du manège. Vu du plancher des vaches, la trajectoire est rectiligne mais la personne à qui on lance la balle s'est déplacée. Pour le lanceur la balle semble avoir été déviée vers la droite alors que pour un observateur immobile, sa trajectoire est rectiligne (en grisé).
Supposons maintenant que nous soyons en-dessous du plateau, les pieds sur le plateau et la tête en bas, comme les Australiens, le disque représentant toujours la projection de la Terre sur le plan de l'équateur est à l'envers.
La déviation est cette fois à gauche. C'est pourquoi la déviation de Coriolis est à gauche dans l'hémisphère Sud quand elle est à droite dans l'hémisphère Nord et vice-versa. On interprète d'habitude cet effet par la force de Coriolis qui, comme la force centrifuge, est une force
fictive. En fait c'est une accélération, effet purement cinématique,
c'est-à-dire à la fois géométrique et temporel. On peut calculer l'accélération totale, somme de ces trois accélérations en
dérivant vectoriellement la position par rapport au temps pour obtenir
la vitesse, dérivée une seconde fois pour obtenir l'accélération absolue qui a
trois composantes, l'accélération relative, l'accélération
centripète (opposée de l'accélération centrifuge) et l'accélération
complémentaire ou de Coriolis (voir mon calcul sur Wikipedia). Il est plus simple d'utiliser le principe de relativité, pourtant supposé inapplicable ici d'après les livres car on n'est pas dans un référentiel inertiel. En fait, comme Einstein l'a précisé en 1905, il s'applique bien à un mouvement lentement accéléré. Il suffit de se placer dans un référentiel dit inertiel ou galiléen pour simplifier le problème comme on l'a fait plus haut.
Pour résumer, dans l'hémisphère Nord, une dépression est déviée vers la gauche. La déviation est inversée dans l'hémisphère Sud mais aussi pour un anticyclone de sorte qu'un cyclone est dévié dans l'hémisphère Sud de la même façon qu'un anticyclone dans l'hémisphère Nord.
Les vents alizés
Les alizés se déplacent des hautes pressions du tropique vers les basses pressions de l’équateur déviés vers leur droite dans l'hémisphère Nord, comme les anticyclones dont ils sont issus. Ils soufflent entre 30°N et l'équateur. Leur vitesse est assez constante (30 km/h). Les alizés n'ont pas de moteur mais sont alimentés par les anticyclones. Ils continuent sur leur lancée apparente vers l'Ouest quoique freinés. En effet, les anticyclones du Nord et du Sud dévient les vents vers la droite dans le Nord et la gauche dans l'hémisphère Sud pour converger dans les alizés. Les alizés de l'hémisphère Nord rencontrent ceux de l'hémisphère Sud pour former la dépression du pot au noir (Zone de Convergence Inter Tropicale ou ZCIT) sur l'équateur. Cette dépression aurait donné son nom à la célèbre maladie car les navigateurs arrivaient dans cette zone où ils n'avançaient plus et subissaient des nuages et de la pluie à n'en plus finir. Cette dépression est due à la forte chaleur qui provoque une évaporation intense avec une élévation des masses d'air chaud et humide, plus léger que l'air sec, remplacé par celui des anticyclones, sec car provenant des déserts.
Les alizés soufflant d'Est en Ouest sont utilisés par les navigateurs à la voile pour traverser l'Atlantique et atteindre le Nouveau Monde. Le chemin du retour se fait lors de l'absence des alizés ou par contournement des Açores par le Nord pour profiter de l'anticyclone.
On trouvera des détails dans "Quelques éléments de Météorologie".
mercredi 22 avril 2009
Bases de la physique nucléaire
TEXTE PROVISOIRE et partiel
Faits expérimentaux importants
Les moments magnétiques du proton et du neutron dans le deutéron sont opposés. L'hélium 4 n'a pas de moment magnétique ou électrique et, de même tous les noyaux ayant un nombre pair de neutrons comme de protons. Le deutéron (noyau de deutérium ou hydrogène lourd) a un moment quadrupolaire alors que le neutron et le proton n'ont de moment électrique ni dipolaire ni quadrupolaire. Le rapport du nombre de protons à celui des neutrons est, statistiquement, à 3% près, égal au rapport du moment magnétique du neutron à celui du proton. Le neutron a un moment magnétique et contient des charges électriques de somme nulle. Les noyaux ayant à la fois un nombre pair de protons et un nombre pair de neutrons ont un moment magnétique nul. Il y a une force de répulsion coulombienne entre les protons, chargés positivement, qui favoriserait un excès de neutrons.
La conservation de la charge électrique n'a jamais été mise en défaut. Les charges fractionnaires n'ont jamais été observées.
Les protons étant chargés positivement, les noyaux le sont aussi. Il faut donc apporter une certaine énergie lorsqu'on veut les rapprocher, par exemple pour provoquer la fusion nucléaire. Cette barrière est relativement faible, soit 0,1 MeV pour le combustible deutérium-tritium.
Le rayon de charge d'un noyau peut être considéré en première approximation comme coïncidant avec le rayon de matière nucléaire (rayon de masse). La densité de matière (100 milliards de fois la densité de l'eau) diminue progressivement vers l'extérieur du noyau.
Les noyaux ont une masse inférieure à la somme des masses de leurs constituants, les nucléons. La différence, en toute rigueur, négative, est l'énergie de liaison, de l'ordre de 1% de l'énergie de masse. L'énergie nécessaire pour séparer les nucléons est positive et égale en valeur absolue à l'énergie de liaison. L'énergie nécessaire pour arracher un nucléon au noyau est environ un million de fois celle nécessaire pour arracher un électron à un atome. L'énergie de liaison de l'hélium 4 est six fois plus grande que celle du deutéron. L'énergie de liaison par nucléon (en valeur absolue) croît avec la masse du noyau, passe par un maximum puis décline. Les noyaux instables (radioactifs) ont une énergie de liaison inférieure à celle des noyaux stables représentés par la courbe.
La radioactivité α (éjection de noyaux 4He d'énergie 5 MeV à une vitesse de l'ordre de 3% de celle de la lumière) proviendrait de ce que la répulsion coulombienne entre les protons l'emporte sur les forces nucléaires (interaction forte) dans les noyaux instables.
La radioactivité β émet des électrons avec un spectre d'énergie continu. Leur vitesse est légèrement inférieure à celle de la lumière. Le cobalt 60 émet un électron puis un rayon γ.La radioactivité β+ (ou β-) transforme un neutron en proton (ou inversement) avec émission d'un électron et d'un antineutrino électronique (ou d'un antiélectron ou positron et d'un neutrino électronique). La force faible maintient liées entre elles un nucléon avec un électron et un neutrino selon la théorie dite électrofaible . Elle peut être attractive ou répulsive en provoquant la transmutation d'un nucléon.
La radioactivité γ produit un spectre de raies de photons γ émis par des transitions nucléaires.
- Stabilité des noyaux
On connaît plus de 3.000 nucléides dont 258 noyaux stables. Parmi eux, 159 ont un nombre N de neutrons et Z de protons pair, 4 les ont impairs. La stabilité augmente donc avec la parité. Il y a 38 éléments ayant Z=N dont 20 pair-pair et 13 stables.
Hypothèses généralement admises
L'interaction nucléaire est la même pour tous les nucléons, protons ou neutrons. Ces forces sont les mêmes pour les paires proton-proton, proton-neutron et neutron-neutron pourvu que les particules en interaction se trouvent dans le même état quantique. Les protons sont plus fortement liés par les forces nucléaires pour compenser la répulsion électrostatique.
Les protons "préfèrent" être appariés avec leurs spins opposés. De même pour les neutrons, ce qui explique le spin proche de zéro des noyaux. Le principe de Pauli est supposé "favoriser" un nombre égal de neutrons et de protons (en contradiction avec l'observation que la proportion de neutrons et de protons est statistiquement constante à 3% près.
- Le deutérium ne possède qu'un état lié.
La portée de l'interaction nucléaire serait limitée au rayon des nucléons. En fait elle décroît de façon continue avec la distance au centre du nucléon. L'interaction électromagnétique est, selon les auteurs, cent, mille ou même un million de fois plus faible que l'interaction nucléaire. Elle s'exprime en Mev alors que l'énergie chimique s'exprime en eV. Pourtant l'énergie coulombienne de répulsion électrostatique, utilisée dans l'équation de Bethe-Weizsäcker (ci-dessous), est de l'ordre du MeV. L'interaction nucléaire a une portée faible, de l'ordre de 2 fm (femtomètre, fermi ou F), est attractive, n'interagit qu'avec ses voisins immédiats (saturation) et est indépendante de la charge électrique des nucléons (principe d'indépendance de charge). L'interaction forte ne dépend pas de l'état de spin relatif des nucléons (formalisme quantique). La nature de l'interaction forte est encore inconnue. Les recherches actuelles consistent essentiellement à améliorer la forme de la courbe et à ajuster sa valeur numérique. Les nucléons seraient composés de quarks de charges fractionnaires, jamais observées. La véritable interaction forte serait l'interaction quark-quark, ce qui revient à déplacer le problème.
- Mers de Dirac et de Fermi
"L'interprétation de Dirac dans laquelle le vide physique, dans une théorie relativiste, est représenté par l'ensemble des particules occupant les orbites d'énergie négative de l'équation de Dirac. Cet état est communément appelé la mer de Dirac, par opposition à la mer de Fermi qui représente les nucléons de valence d'énergie comprise entre 0 et εf De par sa structure, le vide physique de l'équation de Dirac est ainsi différent de celui de l'équation de Schrödinger." J.-F. Mathiot, Concept de quasi-particules. Il y a des mers de protons, d'électrons (et de neutrons?) d'énergie négative. C'est l'antimatière dont on connaît des particules de charge électrique négative mais les énergies (en fait des masses selon la formule E = mc²) négatives n'ont jamais été observées. Les antiparticules ont des masses normales mais des charges électriques opposées à la particule normale.
La charge baryonique est pour l'interaction forte ce que la charge électrique est pour l'interaction électromagnétique. Elle a été construite par analogie avec la charge électrique car l'interaction électromagnétique est interdite par hypothèse pour interpréter l'interaction nucléaire. La conservation de la charge baryonique est un postulat.
Les nombres magiques (8, 20, 28, 40, 50, 82, 126…) de protons ou de neutrons conduisent à une grande stabilité du noyau. Par exemple, l'isotope 208 du plomb a 82 protons et 126 neutrons. Il est dit doublement magique et est un des noyaux les plus stables.
- Barrière de Coulomb
Les protons du noyaux créent un champ électrique qui repousse les protons qui s'en approche: c'est la barrière de Coulomb. Le principe d'indépendance de charge est mis en défaut selon que l'on considère l'énergie cinétique nécessaire à un neutron ou à un proton pour pénétrer un noyau. En effet, le neutron, neutre électriquement, n'a pas besoin de franchir la barrière de Coulomb alors que le proton, chargé positivement, est repoussé par la charge électrique positive des protons du noyau. Le rôle de la barrière de Coulomb est inverse chez les noyaux légers N = Z et chez les noyaux lourds.
- Modèle de Yukawa
Le modèle de Yukawa est basé sur une solution de l'équation d'onde de Klein-Gordon (onde de de Broglie) associée à l'interprétation par le méson qui porte son nom. La valeur absolue de la force correspondante n'est toutefois pas connue et doit être ajustée pour être en accord avec les résultats expérimentaux.
- Formule semi-empirique de Bethe-Weizsäcker
Cette formule comprend 5 termes. La première approximation est celle
qui considère que l'énergie par unité de volume est constante comme
dans une matière homogène, ce qui donne le premier terme de la formule
où l'énergie d'un noyau est proportionnelle à sa masse atomique. On
complète ensuite par des termes correctifs qu'on retranche: l'énergie
de surface, l'énergie coulombienne de répulsion électrostatique des
protons, l'énergie de symétrie plus un terme supplémentaire destiné à
tenir compte du nombre pair ou impair de protons et de neutrons.
En
assimilant la goutte nucléaire à une sphère de surface 4π r₀ A⅔, où r₀
est le rayon d'un nucléon, l'énergie de répulsion des protons s'obtient
en assimilant la distribution de charge à celle d'une sphère homogène
de densité de charge ρ = Ze/(4/3)πR³, ce qui donne l'énergie
électrostatique (Ze)²/(4πε₀R). Il reste l'énergie de symétrie qui est
nulle lorsque le nombre de neutrons est égal à celui des protons. On
admet qu'elle augmente avec le déséquilibre entre neutrons et protons:
elle sera donc quadratique, ce qui donne, à un coefficient près (N –
Z)²/A. On obtient finalement l'énergie de liaison en MeV en ajustant
les coefficients des différents termes :
Cette formule ne s'applque pas aux noyaux légers puisqu'on a des dénominateurs nuls pour A=0.
Attention, des variantes existent. L'énergie est généralement prise en valeur absolue, positive. En toute rigueur elle est négative si on considère l'énergie de liaison, reliée à l'excès de masse par rapport au carbone 12. En faisant la différence entre l'excès de masse et celle qu'on obtiendrait en additionnant les masses des protons et neutrons grâce à la formule E=mc², on obtient le défaut de masse, proportionnel à l'énergie de liaison, toujours négative (ou positive, selon la convention utilisée). Elle est positive s'il s'agit de l'énergie d'extraction d'un nucléon. Par contre, le signe de l'excès de masse n'a pas de signification physique sinon que les noyaux plus légers que C12 on un excès de masse positif et les noyaux plus lourds ont un excès de masse négatif. En pratique, les graphiques représentent l'énergie par nucléon c'est-à-dire qu'on divise la formule précédente par A, ce qui donne une courbe plutôt plate avec un maximum correspondant à l'élément plus stable, le fer.
- Modèle quantique du noyau
Les nucléons auraient une énergie cinétique de quelques dizaines de MeV, soit une fraction non négligeable de la vitesse de la lumière. Cela est surprenant puisque le rayon d'un noyau est en accord avec des nucléons jointifs. Donc, dans cette hypothèse du mouvement des noyaux on peut appliquer l'équation de Schrödinger basée sur l'onde de de Broglie, fonction de la vitesse du nucléon. Cependant cela ne fait que quantifier le moment cinétique et ne résout en rien le problème de la nature de la force nucléaire. La quantification implique des moments cinétiques multiples entiers du magnéton nucléaire. Les moments cinétiques des protons et des neiutrons s'additionnent vectoriellement mais séparément.Ce n'est pas le cas en mécanique classique où le moment cinétique d'une automobile n'est pas la somme des moments cinétiques de ses roues et de sa carosserie. En mécanique classique on additionne les énergies cinétiques. En fait, quand on parle de spin, il s'agit, au signe près, du moment magnétique et non du moment cinétique.
Principales unités
L'unité de masse atomique (symbole u ou uma = 931.494 MeV/c2 = 1,66053.10^(-27) kg) est très utilisée. Cette valeur a été choisie pour que la masse atomique du carbone 12 soit exactement de 12. C'est une masse fictive qui se distingue à la fois de celle du proton (1,672614.10^(-27) kg ou 1,00727661 MeV/c2 ou encore 938,2592) et de celle du neutron (1,0086652 uma ou 939,553 MeV/c2). Le système international SI n'est malheureusement pratiquement pas utilisé en physique nucléaire, ce qui nécessite fréquemment des conversions fastidieuses. On se demande quand et pourquoi les MeV sont devenus des MeV/c2…
- Rayon nucléaire
Le rayon d'un noyau atomique n'est pas très bien connu; il varie selon la méthode de mesure. Sa surface aussi est mal définie. L'unité utilisée habituellement est le fm (10^-15 m) qui est approximativement le rayon d'un proton.
- Charge électrique
Le moment magnétique nucléaire s'exprime en magnéton nucléaire µN = eh/(2Mp) = 3,15 × 10−8 eV/T (SI). Il est différent du magnéton de Bohr de sorte que, si on veut comparer le moment magnétique d'un atome et celui de son noyau, on doit faire la conversion en unité cohérente, ici celles du système international SI.
Le moment électrique dipolaire est nul ou quasi-nul. Le moment électrique quadrupolaire (symbole Q) est généralement donné en barns c'est-à-dire en 10^(-24) e.cm2, où e est la valeur absolue de la charge élémentaire de l'électron ou du proton. En pratique, on fait e = 1 de sorte que le moment électrique quadrupolaire devient une surface. Il est intéressant de prendre sa racine carrée pour obtenir une longueur qu'on peut comparer au rayon. Par exemple, le deutéron (noyau d'hydrogène lourd) a un moment de +0,002875.10^(-24) cm2. Cela correspond à une longueur de 0,05362.10^(-12) cm, soit 5,362.10^(-14) m ou encore 0,5362 fm, le femtomètre ou fermi étant égal à 10^(-15) m. C'est la moitié du rayon d'un nucléon pris égal à un fm. Elle représente l'écart des charges électriques formant le quadrupôle.
Les essais de collisions entre particules et cibles selon la méthode séculaire de Rutherford donnent des renseignements sur la structure des noyaux sous la forme de sections efficaces (symbole σ ou Q), exprimées en barns, comme les moments quadrupolaires.