jeudi 7 mai 2009
La relativité restreinte
- De Galilée à Einstein
Le principe de relativité consiste à dire qu'un mouvement est relatif. Chacun peut s'en rendre compte dans un train en gare où on ne sait pas si c'est lui ou son voisin qui démarre. Au démarrage on peut ressentir une accélération qui indique que c'est nous qui accélérons. Ce qu'on détecte c'est un changement d'accélération par rapport au repos. Pour le comprendre, le plus simple est de partir d'un mouvement loin de toute masse, c'est-à-dire en apesanteur. Pour créer une acélérration, il faut, par exemple, mettre son moteur-fusée en marche. En vertu du théorême de la conservation de la quantité de mouvement, le centre de gravité de l'ensemble va garder la même vitesse constante par rapport à n'importe quel référentiel galiléen. Le passager de la fusée ressentira une accélération mais pas le centre de gravité. En effet le centre de gravité de l'ensemble fusée plus gaz d'échappement reste constant même si la masse de gaz éjecté est faible car leur vitesse est mille fois supérieure à celle de la fusée et sont donc expédiés bien plus loin ce qui permet de garder le centre de gravité de l'ensemble immobile. De même, lorsqu'un train démarre, il exerce une force sur les rails. Cette force imprime un mouvement de rotation à la Terre, certes très faible mais que l'on peut calculer grâce au principe de conservation de la quantité de mouvement ou du moment cinétique dans le cas d'une rotation. La vitesse imprimée par le train à la Terre est très faible car elle est dans le rapport de leurs masses. Einstein a généralisé la composition des vitesses de telle sorte que la vitesse de la lumière ne puisse être dépassée grâce à un coefficient fonction des vitesses d'entraînement, relative et de la lumière. C'est la transformation de Lorentz qui reste linéaire comme celle de Galilée mais avec un paramètre en plus, le temps.
Le "paradoxe des jumeaux", imaginé par Langevin, a fait couler beaucoup d'encre et ressemble aux discussions byzantines sur le sexe des anges. En effet il est basé sur la notion de référentiel inertiel, c'est-à-dire à vitesse constante. Mais cela doit être fait par rapport au même référentiel inertiel. Cela est d'ailleurs pratiquement impossible à réaliser. Le fait que l'un des voyageurs est accéléré et pas l'autre est faux puisque le voyageur "immobile" est soumis non seulement à l'accélération centripète due à la rotation de la Terre mais aussi à l'accélération de la pesanteur alors que le voyageur du cosmos est soumis à une accélération non comparable.
- De Lorentz à Einstein
Le diagramme ci-après montre comment on passe de la transformation de Lorentz à la relation d'Einstein E = mc², de façon rationnelle. La constance de la vitesse de la lumière ou les équations de Maxwell ont pour conséquence la transformation de Lorentz puis la dilatation du temps et la contraction des longueurs ainsi que la transformation des vitesses et accélérations. En utilisant le temps comme quatrième dimension, on obtient la métrique de Minkowski. La transformation de l’accélération a pour conséquence, associée à la loi fondamentale de la dynamique, la proportionnalité de l'énergie cinétique à la variation de masse multipliée par c². Enfin, avec l’hypothèse supplémentaire que l’énergie contenue dans une masse donnée lui est proportionnelle, on obtient la formule E = mc2.
Tous les détails dans mon livre "Relativités et quanta clarifiés", publié chez Publibook
consultable sur Google livres, Amazon et dans toutes les bonnes
librairies scientifiques ainsi que dans plusieurs dizaines de
bibliothèques universitaires. On trouvera la substantifique moelle de
la relativité restreinte avec une démonstration de la formule
E = mc² sur Relativité restreinte Voir aussi la version anglaise.
La relativité restreinte se ramène à la notion d'espace-temps avec une quatrième dimension ict où i est le nombre imaginaire racine carrée de -1, c la vitesse de la lumière et t le temps. On obtient ce résultat en combinant le principe de relativité, la constance de la vitesse de la lumière dans une relation linéaire qui est la transformation de Lorentz.
jeudi 1 mai 2008
Simulation numérique du déferlement d'une vague
Le mouvement d'une vague créée dans un canal à houle par un générateur de vagues du type piston a été simulé sur microordinateur par un calcul de différences finies en coordonnées de Lagrange. Voir le film:_Vague
La méthode de calcul consiste à découper le volume fluide en quadrilatères où la pression et les autres paramètres sont constants et à diviser le temps en petits intervalles égaux. On associe à chaque nœud du maillage ainsi créé un élément obtenu en joignant entre eux les quatre nœuds voisins. On applique pour chaque pas de temps à cet élément les lois fondamentales de la mécanique qu'on intègre par différences finies au premier ordre. Le fluide est homogène, pesant, compressible et a une tension superficielle. Le logiciel a été validé par comparaison avec des résultats expérimentaux et numériques issus de la littérature, concernant des vagues de moyenne amplitude. Le calcul est possible au-delà du déferlement. En faisant varier la profondeur et la vitesse du piston on a trouvé que la vitesse de la base de la vague ne dépend que de la profondeur mais que la vitesse de la crête est double de celle du piston. Un film d'animation a été réalisé à l'aide d'une caméra, déclenchée par le microordinateur, filmant l'écran.
Article téléchargeable (pdf) ici: ATMA 88