mercredi 30 avril 2008
Numerical simulation of gun powder and explosives
NUMERICAL SIMULATION OF THE DYNAMICAL MECHANICAL PROPERTIES OF HOMOGENEOUS AND GRANULAR ENERGETIC MATERIALS.
B. Schaeffer
25th Int. Annual Conference of ICT, june 28- July 1, 1994, Karlsruhe.
Abstract
Energetic materials are usually highly viscoelastic or viscoplastic. They are brittle at low temperatures or under impact. Some are composite materials and their crystalline filler is responsible for a dilatant behaviour.
The products made with such materials are subjected to static and dynamical mechanical loads during or after fabrication. In a gun, for example, acceleration loads are very high in the gun powder as well as in the explosive charge which may rub against the casement, be ignited and explode prematurely. Cracks increase, sometimes catastrophically, the combustion area. The breaking of the bonding between the propellant and the liner and decohesion between the binder and the crystalline filler in composite propellants or explosives contain are two other types of fracture that may influence combustion.
A microcomputer software (Deform2D) working on PC’s (Windows) and Macintosh has been developed for simulating the dynamical mechanical behaviour of non-linear materials, particularly viscoplasticity and fracture. The computing method is based on finite differences with automatic meshing. Bimaterial structures may be studied: adhesive joints and composite materials. Composite materials are defined very easily with the help of graphic patterns: one pixel is associated with one mesh. The mesh is made of one material or the other depending on the pixel. Anisotropy is the result of an inhomogeneous structure, anisotropically distributed. The bonding strength between the elastomer binder and the particles is approximated by the strength of the solid phase.
Numerical simulations of tension and compression tests on composite materials showing dilatancy have been realised. The propagation of elastic waves has been simulated in a bar and a powder bed. The computed results are compared with experiment.
1. INTRODUCTION
Numerical simulation of small propellant and explosive tests can help to understand the behaviour of full-scale weapon systems [1 ]. Data for code inputs are often scarce, particularly at high rates of straining. The time-temperature shift may be used to extrapolate low-rate tests, but the embrittlement under impact is also due to the finite speed of the stress waves producing a stress concentration at the point of impact [ ]. It is often assumed that wave propagation may be neglected in small specimens [3], but at high strain rates, for deformation speeds near or above 10 m/s, the strain is no more homogeneous [4]. The software presented here is particularly suited to simulate tests in the laboratory, static or dynamical, and shows effects like dilatancy related to the composite nature of many energetic materials. It will be applied to a few simple experiments.
2. NUMERICAL MODEL
Deform2D is a finite differences software where the specimen to be studied is divided into elementary parts, e.g. quadrilaterals (figure 1) each made of a given material. The material may be different from one mesh to the other, but the choice is between two materials only. In a mesh, stresses and strains are constant. The boundary conditions may be of given speed or given pressure. Unilateral contact with friction at rigid contours is modelled.
The finite strain tensor may be computed from the lengths of the sides of a triangle built on the diagonals of the quadrilateral meshes used to discretise the specimen.
The stresses are true stresses (relative to the instantaneous geometry) and not the nominal or engineering stresses (relative to the initial geometry), the fundamental laws of dynamics having to be applied to the actual, not the initial geometry.
The stresses are obtained from the strains through the constitutive law, a combination of hypoelastic and viscous behaviour. The resulting effort on an element (built by joining the four immediate neighbours of a node) is then calculated. Newton's law gives the acceleration, integrated twice to obtain the new coordinates of the nodes.
The computing cycle is repeated for each node and each time step. The Courant-Friedrich-Lewy criterion states that, for stable computation, the propagation of the elastic wave has to be smaller than one mesh during one time step. All calculations are here in plane strain. More details may be found elsewhere [5].
The numerical experiment, for example a tensile test on a sample hold in a fixed grip at the bottom and in a moving grip at the top (figure 1). Sample and grips are drawn with the mouse. The contours (sample, fixed, moving grips and also transducers, applied pressure and symmetry regions) are analysed by Deform2D after clicking inside them with the mouse (fig. 1a). The sample is meshed automatically. The numerical values are introduced through a dialog window (figure 2).
Figure 1 - At left, the drawing used to define the geometry; the contour of the part to be meshed is obtained simply by clicking in it with the mouse, the software analyses it and meshes it automatically. The mobile and fixed clamps are analysed in the same fashion after a slight modification of the drawing to make the contours simply connected. At right, numerical model of a tension test (schematic).
3. DILATANCY IN HIGHLY LOADED ELASTOMERS
When composite materials are deformed, there is debonding (localised fracture) between the binder and the reinforcement producing an increase in volume of the material. This will be simulated in tension and in compression.
3.1. Tension test
The test is schematised on figure 1. The speed of the moving grip is 1 m/s, as shown on figure 2. At this speed the test may be considered as quasi-static. Of course, a lower speed could be chosen, but the computing time being inversely proportional to the speed, it would take too much time. One night is necessary on a Macintosh II (500 nodes, 5000 computing cycles, result shown on figure 3).
Figure 2 - Legend on the next page.
Legend of figure 2
The first series of datas are material constants (maximum two constituants). Some numerical constants are not entered directly. For example, Poisson’s ratio is calculated from the bulk modulus and the shear modulus. If one knows Poisson’s ratio and Young’s modulus, it is necessary to vary the bulk and shear moduli until obtaining the desired values for Poisson’s ratio and Young’s modulus.
The upper and lower yield stresses have very high values: elastomers are usually not plastic.
The ultimate tensile strength is the true strength at fracture, not the engineering strength.
The tensile strength of the binder is taken very high so that no fracture occurs in the binder. On the contrary, the crystalline phase is supposed to break. This may look as a strange hypothesis, but it was necessary to use it for simulating the fracture at the binder and filler interface. When a crack is formed, there is an increase in volume. It may be detected from the volume change in a part of the specimen. If the whole specimen is chosen, it simulates a dilatometer (for example a Farris dilatometer).
The strain at fracture is the maximum local strain in tension, not the mean strain across the specimen (engineering strain). Usually, these values have to be adjusted by simulating a tensile test and verifying that the maximum load and extension correspond to the experimental values. The strain at fracture has no effect on the numerical results when there is no plasticity, the behaviour being supposed to be entirely elastic until fracture for both the binder and the filler. The strain at fracture is used to compute the (linear) strain-hardening coefficient.
The desired compressive strength will be obtained by adjusting the value of the friction coefficient, according to the Coulomb criterion of fracture. The friction coefficient between the specimen and the platens (in compression) is assumed to be the same as the internal friction coefficient.
The viscosity is rarely known from experiments. It has to be chosen empirically in order to have a realistic damping. The viscosity coefficient allows the simulation of flow at constant stress but not of relaxation experiments.
The speed of the longitudinal and transverse waves is calculated from the bulk modulus, shear modulus and specific mass, according to the classical formulae.
The next parameters are related to the numerical experiment itself.
The number of nodes determines the precision of the computation, but the computing times increases proportionally (in fact as the 2/3 power of the number of nodes).
The size of the specimen is given by the next three values: overall height, width and depth.
The interval between views is the time between graphic displays. Usually, the results of the calculations are visualised for one out of ten computing cycles.
The time step is the time corresponding to a computing cycle. It depends on the bulk modulus, the dimensions and the number of nodes.
The duration of the sollicitation is the time during which the speed of the moving part or the pressure is applied.
The maximum duration is the time at which the calculation stops. This is not the duration of the computation measured on a clock, but related to the time of the physical phenomenon simulated.
The safety factor is the inverse of the Courant-Friedrich-Levy number govering the stability of the calculation. It should never be larger than one.
The vertical acceleration is usually the the acceleration of gravity.
The ambiant pressure is usually the atmospheric pressure.
The applied pressure is the absolute pressure, if any, applied on the specimen, locally or all around.
For composite materials, a structure may be chosen with the help of a graphic pattern in an other dialog window. The density, the percentage of reinforcement in volume and weight are automatically calculated from the pattern.
Figure 3 -
Fractured tensile specimen. In black, the crystalline filler and in white, the binder. Fracture occurred at the centre of the specimen where high distortions are to be seen. Stress and dilatation as a function of mean strain. The behaviour is linear until fracture. The volume change is always positive and increases abruptly at decohesion, here immediately followed by fracture.
3.2. Compression test
A material stressed in tension under pressure or in compression should break at stresses and strains larger than in simple tension. This will be checked in this numerical compression experiment. A simple algorithm is used to simulate the contact between specimen and the rigid platens. The deformed specimen at complete fracture is shown on figure 4. The stress and the dilatation are shown on figure 5 in function of the strain.
Figure 4- Specimen shape at complete fracture. It is highly distorted as in a real material. One may distinguish the contours of the fractured regions. The compression speed of 10 m/s makes the deformation larger at the top of the specimen. The number of nodes is 200. The height of the sample is 0.02 m for a width of 0.01 m. All other data are the same as in tension above (figure 2).
Figure 5 - The compressive stress is increasing almost linearly in the elastic range. The plateau corresponds to the beginning of cracking (decohesion). The volume of the specimen decreases first, due to elastic compression, then increases with decohesion takes place.
3.3. Comparison with experiment
The agreement with the experimental curves [6], [7] is not too bad. In tension, the volume increases all the time, first linearly, as may be expected from Poisson’s ratio, then much more rapidly than observed experimentally.
The maximum strain is much higher in compression than in tension as in most materials. In compression, there is a decrease of the volume, due to elastic compression, followed by an increase, due to decohesion, as observed experimentally.
4. WAVE PROPAGATION IN AN EXPLOSIVE SIMULANT
4.1. Numerical model
A 150 mm length and 10 mm thickness bar, made of an explosive simulant (the same as above but entered in the software as an homogeneous material for the sake of simplicity) is impacted at one end at a speed of 1 m/s during 100 µs. The variation of the longitudinal stress at the other end is shown on figure 6.
Figure 6 - Oscillations in a bar impacted at one end. The computed curve (in black) is compared with the experimental curve (in gray)
4.2. Comparison with experiment
4.2.1. Experimental set-up
A 150 x 10 x 10 mm explosive simulant bar was equipped with an accelerometer connected to an Apple II microcomputer with a data acquisition board. The bar was impacted at one side with a pen and the signal from the accelerometer at the opposite side was recorded.
4.2.2. Viscosity
The data from the numerical simulation (gray curve) agree with the experimental results (black curve). They have been obtained with a viscosity of 1000 Pa.s. Hence the viscosity for a solid composite explosive should be around this value. The maximum measurable value during polymerization of composite solid propellants was found to be of 106 Poises (105 Pa.s) [ ] with a Brookfield viscosimeter. It is hundred times smaller; the reason for the discrepancy is not clear. Unfortunately, practically no information can be found on this subject in the literature. There are many papers about viscoelasticity, but the results are expressed in terms of damping or relaxation times. The logarithmic decrement is found to be about 0.3 from the experimental data.
4.2.3. Speed of sound
The longitudinal wave speed is found to be of 270 m/s for assumed speeds of 810 and 140 m/s respectively for longitudinal and transverse waves (the material is taken as homogeneous here). With the classical formula for bar wave speed one finds 235 m/s.
5. WAVE PROPAGATION IN GUN POWDER
5.1. Numerical model
In the numerical experiment, two transducers are simulated in the gunpowder bed at its top and at its bottom, on order to “measure” the speed of an elastic wave.
The powder bed has two constituents, nitrocellulose (reinforcement) and air (matrix). The elastic modulus of the solid phase is taken as 1.5 GPa, with a Poisson’s ratio of 0.45 and a density of 1600 kg/m3. The global density is 850 kg/m3. The height of powder is 0.05 m. The impact speed is 0.1 m/s, for a duration of 20 µs. The geometry of the numerical experiment is shown on figure 7. The non-linearities due to contact between the grains are not taken into account.
The computed recordings of the longitudinal stress at top and bottom of the powder bed are given on figure 8. From these one obtains the propagation time of the pulse from top to bottom.
Figure 7 - Numerical experiment for simulating a wave propagation in a powder bed.
The powder is contained in a container and compressed by a moving anvil. Two regions (dotted line) at the top and bottom simulate transducers for recording the stress as a function of time.
The stresses in the “transducers” are the mean stress in the regions defined by the contours that may be seen near the top and bottom of the powder bed.
Figure 8 - The propagation time of the elastic wave is obtained from the delay between the computed stress curves in the two “transducers”, e.g. 0.09 ms, corresponding to a wave speed of 400 m/s.
5.2. Comparison with experiment
Compression tests (figure 9) are performed in brass cylinders containing the powder. The compression anvil receives an impact from a Charpy pendulum, generating a pulse propagating through the powder bed. A quartz transducer detects the instant of impact. A strain-gage transducer at the bottom detects the incoming wave pulse.
The signals from the two transducers are recorded with an oscilloscope. From the delay between the records given by the two transducers the speed of the elastic wave is obtained.
Figure 9 - Experimental set-up for measuring wave speed in a powder bed. An impact of known energy is obtained with a Charpy pendulum. The effort is recorded on top with a quartz transducer and on bottom with a strain-gage transducer. Both signals are recorded on an oscilloscope. The wave speed is obtained from the delai between the two signals.
The speed of the wave varies between 179 and 354 m/s, depending on the weight and falling height of the Charpy impacter, the prestress, the height of the powder bed (figure 10). The speed given by the numerical simulation, 400 m/s, is higher than all the experimental values, which may be due to the contact non-linearities between the grains, not taken into account in the simulation.
Using the Schubert formula [9] one finds 240 m/s, with a Young’s modulus of 1.5 GPa and a Poisson’s ratio of 0.45 for the nitrocellulose, the porosity of the bed being 40 %. The assumptions are the same used by Schubert, e.g. radius of curvature at the contact point equal to the grain radius and a tension of 1 kPa.
Figure 10 - The speed of the wave increases when the energy of the impactor (weight and falling height) increases and when the height of powder and prestress decreases. The software is not sophisticated enough to predict such effects.
6. CONCLUSION
The computed curves of the deformation (stress and dilatancy) are qualitatively in accord with experiment for highly filled elastomers. Volume is always increasing in tension and, in compression, a decrease is followed by an increase due to decohesion.
The software shows how oscillations are generated in a composite explosive simulant bar by an impact. The study of the corresponding wave propagation shows the influence of viscosity, a parameter often cited in rheological studies but to which a numerical value is rarely given. The damping of the oscillations corresponds to a viscosity 100 times smaller than measured directly towards the end of polymerization of a composite propellant. The propagation speed of an elastic wave in a powder bed is reasonably in accord with experimental results although the contact phenomena were not modelled.
Deform2D is a simple tool to understand the static and dynamical behaviour of energetic materials. It may be useful to optimize an experimental program or a more sophisticated numerical simulation with a standard software. It appears the necessity of knowing the mechanical properties of not only the composites but also of their components (binder and crystalline phase). The same is valid for gun powder where one should determine the mechanical properties (static and dynamic) of the powder material and of the powder bed.
7. REFERENCES
Simulation de la rupture des composites
Simulation numérique du comportement et de la rupture des solides composites ou homogènes
Numerical simulation of the mechanical behaviour and fracture of composite or homogeneous materials
Méc. Ind. et Matériaux, Vol. 48, n° 3, 1995
B. SCHAEFFER
RÉSUMÉ
Deform2D est un logiciel de calcul par différences finies, entièrement non-linéaire fonctionnant sur un microordinateur Macintosh, mettant à profit son interface utilisateur. Le maillage est automatique par un simple clic dans un contour. Le logiciel est particulièrement adapté à la simulation des chocs, mais des essais quasi-statiques peuvent aussi être simulés. On a pu visualiser la propagation des ondes, des bandes de glissement et des fissures. Les matériaux composites sont modélisés en répartissant les deux composants dans différentes mailles selon une structure régulière décrite par un motif graphique.
MOTS CLÉS
Différences finies - Dynamique - Matériau composite - Logiciel - Rupture - Simulation numérique.
ABSTRACT
Deform 2D is a fully non-linear bidimensional software working on a Macintosh microcomputer, taking advantage of the graphic user interface. Automatic meshing is performed with a simple click in a contour. The software is especially adapted to the study of impacts but quasi-static tests may also be simulated. Propagation of waves, glide bands and cracks has been visualized. Composite materials are modelled by distributing two component materials over the meshes according to a periodic structure described by a graphic pattern.
KEY WORDS
Finite differences - Dynamics - Composite material - Software - Fracture - Numerical simulation.
1. INTRODUCTION
La simulation numérique du comportement dynamique des structures existe depuis plus de vingt ans, mais elle nécessitait des moyens importants. Avec l'avènement des microordinateurs, les expériences numériques deviennent possibles en laboratoire. Le coût des calculs devient faible et on peut partir directement des équations de base sans avoir à les intégrer partiellement dans le but d’accélérer les calculs.
Le procédé de calcul [1] consiste à découper le milieu déformable en quadrilatères où les variables (variables d’état et constantes du matériau) sont uniformes. La géométrie du problème est alors très simplifiée. Il n’est plus nécessaire d’homogénéiser et de faire appel à la théorie des corps orthotropes. Le coût du calcul sur microordinateur devenant inférieur à celui de la matière grise, on peut pousser jusqu’au bout la logique du tout numérique.
2. METHODE DE CALCUL
2.1. Déformations
La configuration d'un corps solide est décrite par un modèle mathématique continu dont les points géométriques s'identifient à la position des particules matérielles [2]. Un vecteur infinitésimal de longueur ds et de coordonnées dxi, devient, après déformation, un vecteur de longueur ds' et de coordonnées dx'i. Au second ordre près, les nouvelles coordonnées sont fonctions linéaires des anciennes, avec, comme coefficients, les gradients de déformation, ∂xi / ∂xj [3]. Les déformations εij sont données par:
où
est la déformation de Green. En appliquant la formule à une traction simple, on trouve [4]:
La déformation volumique est approximée par:
2.2. Contraintes
La loi de comportement ou équation d'état rhéologique [5] exprime la relation entre les contraintes et les déformations. On utilise ici les contraintes vraies ou euleriennes ou de Cauchy, relatives à la configuration déformée, et non les contraintes nominales (se rapportant à la configuration initiale).
Les composantes du tenseur des contraintes sont constituées d'une partie sphérique, correspondant à la pression, et d'une partie déviateur, correspondant aux cisaillements:
La loi de comportement est séparée en une partie sphérique qui relie la pression au volume, et une partie déviateur. On a choisi une combinaison linéaire d'un solide hypoélastique et d'un fluide visqueux, c'est-à-dire un solide de Kelvin compressible, en incrémental:
Ce modèle rend compte de l'amortissement mais ne permet pas de simuler la relaxation des contraintes à allongement imposé. La loi de comportement est complétée par des critères de plasticité (Tresca) et de rupture (Tresca-Coulomb). Le second se distingue du premier par une variation linéaire avec la pression du cisaillement maximal.
2.3. Mouvement
Le mouvement d'un corps déformable se fait sous l'action des conditions initiales, et des conditions aux limites, selon les équations de la mécanique. Sous sa forme intégrale, la loi fondamentale de la dynamique, pour un élément de volume Ω, limité par une surface Σ, s'écrit:
où les Γi sont les composantes de l'accélération, les gi celles de la pesanteur et les nj celles de la normale à Σ. dV et dS sont des éléments de volume et de surface.
Si le domaine Ω est petit, la densité y est constante et les composantes de l'accélération vont s'écrire:
où
est la masse, constante, de l'élément de volume Ω. La connaissance des variables du membre de droite de cette équation permet de calculer le mouvement du centre de gravité du domaine Ω par une double quadrature, qui donne les composantes de la vitesse, puis les coordonnées.
2.4. Résolution numérique
Le milieu continu est découpé selon une grille (figure 1). La plupart des mailles sont des carrés sauf sur les contour où ce sont des quadrilatères. quelconques où les contraintes, les déformations et le matériau sont uniformes. On peut associer à chaque quadrilatère un triangle de référence, construit sur les diagonales, qui définit les déformations εij :
Les déformations sont donc une fonction linéaire des carrés des longueurs Lk des côtés du triangle de référence. La partie sphérique du tenseur des déformations est directement proportionnelle à la variation de volume, c'est-à-dire à l'aire de la maille (déformation plane).
Les conditions initiales et aux limites sont appliquées soit à des mailles (pression), soit à des noeuds (vitesse, position…) ou en effectuant des tests sur l'appartenance ou non d'un noeud à une région (contact) grâce aux fonctions graphiques du Macintosh.
Les contraintes sont évaluées à partir des déformations par l'équation d'état rhéologique (6). Le mouvement d'un noeud, considéré comme un point matériel confondu avec le centre de gravité de l’élément, est calculé en appliquant la loi fondamentale de la dynamique au quadrilatère, constitué de quatre demi-mailles, obtenu en joignant les quatre noeuds entourant le noeud considéré (figure 1). L'effort résultant agissant sur ce quadrilatère est la somme des forces surfaciques appliquées aux quatre diagonales entourant le noeud. On en déduit l'accélération puis les nouvelles coordonnées des noeuds.
Maillage d’une éprouvette de traction. Mesh model of a tensile specimen.
On doit respecter la condition de Courant-Friedrichs-Lewy [6] pour un calcul stable: la propagation des ondes durant un pas de temps ∆t doit être inférieure à la plus petite dimension de la maille. A cause de cette condition la durée d'un calcul est proportionnelle à la durée physique du phénomène simulé, d'où la nécessité d'effectuer les calculs à une vitesse de déformation aussi élevée que possible.
2.5. Interface utilisateur
Les contours définissant la géométrie du problème peuvent être dessinés avec la souris ou à l'aide des logiciels de dessin disponibles sur Macintosh, comme MacPaint ou MacDraw. La fenêtre graphique sert à définir la géométrie du problème par les contours à l'intérieur desquels on clique avec la souris après les avoir éventuellement modifiés pour être analysés par le logiciel.
Seule la pièce à déformer fait l'objet d'un maillage automatique. Il n'est pas nécessaire de définir les noeuds individuellement, même sur le contour, il suffit d'indiquer le nombre total de noeuds souhaité. Les contours sont de plusieurs
types: le domaine physique, la pièce mobile qui impose le déplacement, la zone sous pression, la pièce à déformer qui peut être multiplement connexe, éventuellement la partie de la pièce constituée d'un second matériau ou en matériau composite avec une structure choisie dans une fenêtre.
Le logiciel attribue à chaque maille les caractéristiques du matériau dont elle est constituée (deux matériaux au maximum), ainsi que les autres valeurs initiales et vérifie les conditions aux limites.
Fenêtres de dialogue de saisie des données numériques.
Dialog windows for numerical data input.
Les données numériques sont saisies dans deux fenêtres de dialogue.
On peut visualiser les contraintes, les déformations, les vitesses, etc et récupérer l'image calculée dans la plupart des logiciels Macintosh. La programmation est en langage Pascal Objet (MacApp). Un calcul de 5000 noeuds dure une journée sur Macintosh II.
3. APPLICATIONS
Les matériaux composites sont des matériaux inhomogènes par définition. Ils sont anisotropes lorsque les composants, même isotropes, ont une répartition anisotrope. L’homogénéisation nécessite l’utilisation des théories des corps orthotropes. On détermine expérimentalement ou à l’aide de théories micromécaniques leurs lois de comportement.
Une autre approche, celle qui est proposée ici consiste à partir directement des caractéristiques mécaniques des composants de base et à diviser le composite en mailles élémentaires où chaque maille (homogène et isotrope) est constituée d’un parmi deux matériaux constitutifs. A l’aide de motifs graphiques, on associe à chaque maille un pixel de façon à modéliser la structure du matériau composite. Un pixel noir correspond au renfort et un pixel blanc à la matrice. Il y a correspondance quantitative entre la composition volumique et la densité des pixels, sauf au voisinage du contour où les mailles ne sont plus carrées mais peuvent être des quadrilatères quelconques.
Ce modèle, très proche du réseau carré à deux constituants homogènes [7] est entièrement numérique et n’utilise pas d’homogénéisation analytique. Son inconvénient est de ne pouvoir faire varier les structures de façon continue à cause de sa nature discrète sauf à utiliser des maillages appropriés, ce qui n’est pas possible actuellement avec Déform2D.
3.1. Influence de l’orientation des fibres sur la rupture
3.1.1. Simulation
L’orientation des fibres a une grande influence sur les caractéristiques mécaniques du composite.
Modèle du bobinage à 45°. Model of 45° winding.
A gauche, on voit le renfort, en noir, simulant un bobinage croisé à 45° . Les dessins de droite montrent la répartition de la contrainte de traction verticale avant et après fissuration. Les contraintes dans le renfort (couleur plus foncée, figure 4) sont plus importantes que dans la matrice. Certaines zones sont en compression (ici en gris clair). Les mailles fissurées apparaissent entourées d’un trait continu. Seule la matrice est fissurée. Lorsque les fibres sont orientées à 45°, les premières fissures apparaissent tôt, mais la rupture est progressive (figure 5 au milieu).
Répartition des contraintes à la rupture. Stress distribution at fracture.
Evolution de la force (composantes Fx et Fy) en traction. Evolution of the applied load (Fx and Fy) in tension.
Les oscillations à droite des courbes sont peut-être d’origine numérique. La résistance en traction, neuf fois plus faible que lorsque les fibres sont verticales est légèrement supérieure à celle de la résine
On obtient évidemment les meilleures
caractéristiques mécaniques lorsque les fibres sont parallèles à
l’effort ( figure 5 en haut). La résistance est alors simplement celle
des fibres, même s’il y a rupture de la matrice.
Lorsque les fibres
sont perpendiculaires à l’effort appliqué (fibres horizontales), il
n’y a plus aucun renforcement du matériau. La résistance en traction,
onze fois plus faible que lorsque les fibres sont verticales, est, à
peu de choses près, celle de la résine.
On remarque en bas de la figure ci-contre des oscillations au début et à la fin de la courbe. Elles correspondent à la réflexion des ondes créées par la discontinuité de vitesse au démarrage et par le choc provoqué par la rupture des fibres. Elles sont plus visibles lorsque les fibres sont perpendiculaires à l’effort. En effet, les fibres doivent être peu nombreuses pour une durée de calcul raisonnable.
3.1.2. Comparaison avec l’expérience
Une étude de l’influence de l’angle de bobinage sur les caractéristiques mécaniques de tubes avait été faite [8]. Les constantes élastiques avaient été comparés avec celles calculées par la théorie de Puck.
En utilisant Déform2D, on doit retrouver ces résultats. On donne sur le tableau les valeurs issues de la simulation et les valeurs expérimentales du module d’élasticité, du coefficient de Poisson et de la résistance en traction.
Tableau: Module d’Young, coefficient de Poisson et résistance en traction, simulation et expérience.
Table : Young’ modulus, Poisson’s ratio and tensile strength, simulation and experiment.
En contraintes planes, on retrouve bien une valeur égale ou légèrement supérieure à 0,5 pour le coefficient de Poisson dans le cas d’un bobinage à 45 °. Les modules à 90 et 0 ° ne sont pas connus expérimentalement, les angles de bobinage minimal et maximal étant respectivement de 15 et 80°. Les valeurs expérimentales du module d’élasticité sont inférieures aux valeurs calculées par le logiciel et aux valeurs calculées par la théorie de Puck, mais restent dans les limites de la dispersion des mesures. Les résultats du calcul en déformations planes sont donnés à titre indicatif.
L’écart sur la résistance mécanique est maximal pour le bobinage à 45° où les valeurs calculées sont de 30% inférieures aux valeurs moyennes expérimentales. L’écart est significatif car la précision sur la contrainte de rupture est meilleure que sur le module. Ceci pourrait s’expliquer par l’inhomogénéité du matériau, qui a une influence sensible sur les mesures de déformation par jauges de «contrainte».
3.2. Délaminage en flexion
Le délaminage est une caractéristique importante des stratifiés qui les rend insensibles à l’effet d’entaille.
3.2.1. Simulation
Flexion sur éprouvette entaillée.
Bending of a notched sample.
Une étude expérimentale a été effectuée [9]. qui a été simulée numériquement figure 6. Les valeurs numériques utilisées sont celles données par les auteurs de cette étude. La vitesse de déplacement est de 10 m/s au lieu de 1 µ/s pour une durée de calcul raisonnable. Le nombre de noeuds est de 3000. Les fibres apparaissent en noir.
3.2.2. Comparaison avec l’expérience
On retrouve la fissure horizontale dans la matrice, en tête de l’entaille, signalée dans [9]. Les bandes de cisaillement n’apparaissent pas sur la figure 6, mais on peut les observer à plus grande vitesse de sollicitation. Il est vraisemblable que l’on pourrait observer simultanément ces deux effets en optimisant les conditions de l’expérience numérique. La force maximale est de 1 kN au lieu de 0,6 kN. Il n’y a pas eu de rupture de fibre dont la résistance, non connue, est donc sans importance ici.
3.3. Choc
Impact d’un projectile à vitesse initiale de 1 km/s sur une plaque composite. Impact of a projectile at a speed of 1 km/s on a composite plate.
Les matériaux composites sont utilisés pour les blindages et les pare-chocs car ils absorbent l’énergie cinétique grâce à la déformation et à la rupture de la matrice tout en ayant une grande résistance grâce aux fibres. On a simulé le choc d’un impacteur. Le matériau de l’impacteur est celui des fibres car le logiciel ne permet actuellement d’introduire que deux matériaux constitutifs en tout: les fibres et la matrice. La cible est ici constituée de trois fibres verticales.
La figure précédente montre le résultat du choc. La matrice est presque entièrement plastifiée (hachures à 45°). La fibre centrale est rompue (hachures verticales et horizontales) ainsi que l’impacteur, dont la ruine est presque complète. On remarque le front d’onde qui n’a pas eu le temps de traverser entièrement la cible. Il n’a pas été possible de déterminer s’il s’agissait d’une onde de choc.
4. CONCLUSIONS
Certains logiciels utilisent le concept voisin d’éléments multicouches, mais ils n’ont pas poussé la logique jusqu’au bout, c’est-à-dire de construire un composite directement à partir des matériaux composants sans passer par la phase d’homogénéisation. Le matériau composite simulé par la méthode proposée ici ne peut comporter un grand nombre de fibres et est donc beaucoup plus inhomogène que le matériau réel pour des raisons de durée de calcul. Toutefois, comme le procédé de fabrication crée d’autres irrégularités difficiles à prendre en compte, l’optique proposée ici est parfaitement défendable. On a pu montrer que la précision des calculs est comparable à la précision des mesures et des données expérimentales, d’ailleurs souvent incomplètes ou difficiles à trouver. L’utilisation d’un logiciel tel que Déform2D avant expérimentation réelle peut être utile ne serait-ce que pour réaliser un plan d’expériences complet.
BIBLIOGRAPHIE
[1] B. SCHAEFFER, Programme bidimensionnel de simulation numérique du comportement dynamique des milieux continus déformables, Optimisation des structures et CAO, FEMCAD 87, Hermès, Paris, 1987, pp. 186-194.
[2] Y.C. FUNG, Foundations of Solid Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1965.
[3] S.C. HUNTER, Mechanics of Continuous Media, Wiley, New York, 1983.
[4] B. PERSOZ, Introduction à l'étude de la rhéologie, Dunod, Paris,1960.
[5] M. REINER, Rheology, Theory and Applications, EIRICH, FR. Editor, Vol. 1, Academic Press, New York , 1956, p. 9.
[6] C.W. HIRT, Heuristic Stability Theory for Finite-Difference Equations, J. Comp. Phys. 2, 1968, p. 339.
[7] N.P. VINH Tuong, Sur les calculs et les prévisions des constantes viscoélastiques des matériaux composites, AGARD Conf. Proc No. 63 on Composite Materials, AGARD-CP-63-71, 2-3 avril 1971, Paris.
[8] G. PETER, L. GELDREICH , B. SCHAEFFER, Influence of the winding angle on the mechanical properties of glass reinforced epoxy tubes, Filament Winding II, The Plastics Institute, Londres, 1972.
[9] R.K. BORDIA, B.J. DALGLEISH, P.G. CHARALAMBIDES, A.G. EVANS, Cracking and Damage in a Notched Unidirectional Fiber-Reinforced Brittle Matrix Composite, J. Am. Ceram. Soc., Vol. 74, No. 11, 1991, pp. 2776-80.
vendredi 30 novembre 2007
Equilibrium shape of a tree branch
Abstract
The shape of tree branches is computed using the theory of flexure of beams. Numerical computation is used and takes into account large displacements and growth. The coupling between elastic bending and growth results in a branch shape having an inflection point connected with a permanent deformation.
Growth stresses
The study of stresses in living materials has been the subject of many papers. For example the stresses due to anisotropic growth [1], influence of stresses on growth [2], and even viscoelasticity [3] or plasticity. The influence of gravity on growth is known under the names of gravimorphism [4] or geotropism [5]. The proportions of trees have been found to be limited by elastic criteria to stand under their own weight [6]. Growth stresses and particularly those due to reaction wood play an important role in the mechanics of trees [8], but this paper is focused essentially on the physical influence of gravity. Growth stresses are predominant in the trunk of a vertical tree, where gravitational forces creating nearly hydrostatic pressures may be neglected [8]. In branches, where bending is dominant, stresses due to gravitational forces are much larger than in the trunk. In this paper, growth stresses will be considered as a distinct phenomenon that will not be taken into account in a first approximation.
Upright growth of trees
A forest tree that has been shifted from its normal upright position during a storm will probably grow straight again. Reaction wood may force the tree to an upright position again, but bending strain was not found to affect radial xylem growth in Douglas-fir [5]. Old branches have an inflection point and their curvature remaining almost unchanged when cut, their deformation is permanent. It is often not possible to straighten these branches without breaking them.
Bending of beams and of branches
In the absence of gravity a branch would probably grow straight in the direction of light. With growth rings of constant thickness and a constant yearly increase in length, the shape of a branch would be a cone. Trees may be considered as structures made of beams (dead branches) subjected to gravity. Classical Strength of Materials considers a beam with a given shape, applies a load and calculates the resulting shape, slightly different from the original one for thick beams. Thin beams may have large deflections resulting in non linear displacement, though still elastic. To apply elasticity to a tree branch, it is necessary to know its shape before any calculation. The theory shows that the curvature of the bent beam has a constant sign, there is no inflection point. Elasticity is adequate to calculate the deflection of a branch when the changes in thickness and length are negligible as for a branch temporarily loaded with snow or fruits.
Irreversibility of the bend
When the load is permanent, viscous or plastic deformation may occur, but the coupling between the simultaneous increase of the load and the thickening of the branch is more important. A branch bends continuously with time, even if it thickens. Even with a constant load there would be no decrease of the deflection when the branch thickens. On the contrary, a decrease of the thickness of the branch, would also increase the deflection. The process of growth being time-dependent, the shape of a branch is a function of time.
Method to calculate the branch bending
Dividing time into infinitely small intervals, it is possible to divide each time step in a few more steps: growth, loading and bending. Growth produces an increase in length and thickness of the branch and therefore a small change in geometry. Using the new geometry, the increase in load being small, linear elasticity may be used to compute the deflection, giving another change in geometry of the branch. The growth cycle may then be repeated for the next time step and so on. Because of the changes in thickness and length, the principle of superposition does not apply directly. Therefore, the stress distribution through the branch is no more linear and a permanent deformation occurs even if the incremental stress distribution is linear, e.g. elastic behaviour of the wood.
Numerical method
Many methods have been devised by engineers to analyse the mechanical behaviour of structures. Numerous configurations have been solved with analytical formulae, but they are valid only for simple geometries. With the advent of computers, numerical methods, such as finite elements and finite differences have been developed to calculate complicated structures. None of them (at our knowledge), takes into account the growth phenomenon (occurring in the same manner in the construction of buildings as for trees). In order to calculate the shape of a branch, a simple finite difference method has been used to integrate the differential equation of flexure step by step along the branch and iterated in a time marching process. At each time step, thickness, length and deflection of the branch are adjusted to take care of growth. Few input data are necessary: the thickness of the annual growth rings, the annual length increase of the branches, the growth angle, the density, the longitudinal elastic modulus of wood and the acceleration of gravity.
Numerical results
The results are synthesised in a picture of the whole tree: the young branches are at the top, almost straight and pointing in the direction of growth. The old branches, at the bottom of the tree, are curved and deflected towards the bottom. Figures 1 to 3 show the influence of the growth angle. On figure 3 b, after touching the ground, the branches grow horizontally, which is not realistic. On figure 4, the branches continue to grow with a support on the ground. Figure 6 shows a real tree where the branches have touched the ground.
The shapes of the branches are characterised by an inflection point, not predictable with the elastic criteria of MacMahon [6].
Fig 1: Small growth angle. Growth direction at 80°.
Fig. 2 : Growth direction at 45°.
Fig. 3 a : 90° growth angle without ground.
Fig. 3 b : 90° growth angle with ground.
Fig 4 : 45° growth angle.
Fig. 4 : Growth direction at 45°, growth speed twice slower than on the other figures. This shape is not geometrically similar to figure 2 (scale effect).
Fig. 5 : Old tree with branches growing up again after touching earth.
Fig. 6 a : Old cypress from the Bois de Boulogne in Paris
Fig 6 b : Another old branch having grown after touching the ground.
Fig 7 : An araucaria araucana looking like the numerical model.
Here is the original paper accompanied with the listing of the software : Branche
samedi 10 novembre 2007
Mes publications
Laboratoire de Minéralogie de l'Université de Strasbourg:
1 - Sur l'effet Bauschinger dans certains cristaux ioniques déformés par flexion. C.R. Acad. Sci. Paris, 257, 4170 (1963). En collaboration avec C. DUPUY et H. SAUCIER.
2 - Effet d'un bombardement électronique sur la surface de cristaux de fluorure de lithium. C.R. Acad. Sci. Paris, 260, 1386 (1965) En collaboration avec C. DUPUY et H. SAUCIER.
3 - Mesure des contraintes par photoélasticité dans un cristal cubique transparent. C.R. Acad. Sci. Paris, 260, 1386 (1965). En collaboration avec C. DUPUY et H. SAUCIER.
4 - Etude photoélastique des dislocations dans LiF coloré. phys. stat. solid., 9, 753 (1965). En collaboration avec C. DUPUY et H. SAUCIER.
5 - Nouvelles observations sur les charges électriques apparaissant dans un cristal ionique, à l'émergence d'un plan de glissement. C.R. Acad. Sci. Paris, 260, 4481 (1965). En collaboration avec C. DUPUY et H. SAUCIER.
6 - Création par déformation plastique de centres N2 anisotropes dans LiF coloré. C.R. Acad. Sci. Paris, 261, 5424 (1965). En collaboration avec C. DUPUY et H. SAUCIER.
7 - Influence of Colour Centres on the Plastic Deformation of Halide Crystals. Proc. Brit. Ceram. Soc., 6, 257 (1966). En collaboration avec C. DUPUY.
8 - Interaction des dislocations et de défauts ponctuels dans les cristaux de fluorure de lithium déformés plastiquement. J. de Phys., suppl. 7-8, C3-21, (1966) En collaboration avec C. DUPUY et H. SAUCIER.
9 - Etude photoélastique d'un empilement de dislocations dans LiFcoloré. Bull. Soc. Franç. Minér. Crist., 89, 297 (1966). ( voir photo sur Wikipedia)
10 - Variations en fonction de la température de la limite élastique et de la charge électrique des dislocations dans les cristaux de fluorure de lithium irradié. C.R. Acad. Sci. Paris, 264, 474 (1967). En collaboration avec C. DUPUY et H. SAUCIER.
11 - Quelques expériences sur l'évolution des centres colorés dans LiF sous l'influence combinée de la température et de la déformation plastique. J. de Phys., suppl. 8-9, C4-158 (1967). En collaboration avec J. SERUGHETTI, C. DUPUY et H. SAUCIER.
12 - Influence de l'irradiation aux rayons gamma sur les propriétés mécaniques et sur la charge électrique des dislocations dans les cristaux de fluorure de lithium. Bull. Soc savantes 92ème Congrès Nat. Soc. Sav., Strasbourg, 1967, t. 2 p251. En collaboration avec J. SERUGHETTI, C. DUPUY et H. SAUCIER.
Département de Métallurgie de l'Université de Syracuse:
13 - Deformation and the Strip Necking Zone in a Cracked Steel Sheet. Exp. Mech., april 1971, p 172.En collaboration avec H. W. LIU et J. S. KE.
Plastrex-Manurhin:
14 - Influence of the Winding Angle on the Mechanical Properties of Glass Reinforced Epoxy Resin Tubes. PI- RPG Conference, Filament Winding II, 1972, London.En collaboration avec G. PETER et L. GELDREICH.
Centre Technique des Tuiles et Briques:
15 - Résultats récents sur les structures en terre cuite à base de produits creux monolithes de grand format. 3rd Int. Cong. on Brick Masonry, Essen, 1973.En collaboration avec L. VILLAFRADE, C. BEZILLE et C. HUET.
16 - Un granulat céramique pour enduits superficiels routiers anti-dérapants. 3rd Int. Cong. on Brick Masonry, Essen, 1973.En collaboration avec MM. TOURENQ, LEFRANC et HUET.
Centre de Recherches du Bouchet de la SNPE:
17 - La propagation des fissures dans les matériaux viscoélastiques. 2ème Congr. Fr. de Mécanique, Toulouse 1975.
18 - Fracture Criterion for Solid Propellants. Fracture 1977, Vol. 3, ICF4, Waterloo, Canada, 1977.
19 - Rhéologie_des_propergols en cours de polymérisation. Ind. Min., No spécial Rhéologie, t IV, No 5, 1977.
20 - Critère de rupture et décohésion dans les propergols composites. Mech. Prop. of Matter under High Pressure, EHPRG 17th Mtng, Saclay, 1977.
21 - Tenue mécanique et fiabilité des chargements à propergol solide. Sci. Techn. Armement, 52, 1er fasc., 1978.En collaboration avec J.N. LHUILLIER, R. GONARD, B. GOSSANT, A. HINNEN, G. LANGLOIS et J. LEBOIS.22 - Rupture différée et propagation des fissures dans les propergols composites. Cahiers G.F.R., t V, N? 3, 1980.
23 - Rupture des fonds de douilles combustibles à l'allumage en arme de gros calibre. 5th Int. Symp. on Ballistics, Toulouse, 1980.En collaboration avec P. BENHAIM et J. MALA.
24 - Rhéologie_des_explosifs composites. I.C.T. Congress, Testing Methods for Propellants and Explosives. Karlsruhe, 1980.
A titre personnel:
25 - A lagrangian 'solid' element method for large amplitude movement of a compressible fluid with free surface. 4th Int. Conf. Num. Meth. Laminar Turbulent Flow, Swansea, 1985.
26 - Programme bidimensional de simulation numérique du comportement dynamique des milieux continus deformables. Optimisation des structures et CAO, FEMCAD 87, Paris, 1987 Femcad_87.
27 - Possibilités des microordinateurs - Simulation numérique d'une vague déferlante, dont le mouvement en profondeur et le profil sont calculés par microordinateur. Association Technique Maritime et Aéronautique, session 1988, Paris ATMA 88
28 - Simulation par calcul du comportement dynamique et de la rupture de structures bidimensionnelles. STRUCT-OPT - Optimisation des structures et CAO/DAO, Paris, 21-24 mars 1988.
29 - DEFORM2D: Microcomputer simulation of behaviour and fracture of solid parts using numerical methods. FEMCAD 88, Paris, 17-19 oct 1988.
30 - Simulation numérique du comportement et de la rupture de structures bidimensionnelles. 23ème Congrès du Groupe Français de Rhéologie, Bordeaux, 1988.
31 - Microcomputer capabilities - Numerical simulation of a breaking wave. Water Wave Kinematics, Molde, Norway, May 22-25, 1989 Molde_89.
32 - Numerical simulation of shear bands. Comparison with experiments. European Mechanics Colloquium 252, Bifurcation Phenomena in Solids, Glasgow, 1989.
33 - Forme d'équilibre d'une branche d'arbre. C.R. Acad. Sci. Paris, t. 311,série II, pp 37-43, 1990 Branche.
34 - Equilibre mécanique des arbres. 2nd Coll. Int. sur l'Arbre, Montpellier, 10-15 septembre 1990, p 660-661 Equilibre mécanique des arbres.
35 - Numerical simulation of brittle fracture in ductile materials. ECF8 - Fracture Behaviour and Design of Materials and Structures, p. 885 Torino, 1-5 October 1990 Turin 90.
36 - Simulation numérique sur microordinateur du comportement et de la rupture à grande vitesse de déformation. J. de Physique IV, Colloque C3, suppl. III, vol 1, oct. 1991 Dymat_91.
37 - Numerical Modelling of Fast Crack Propagation on a Microcomputer. Localized Damage II, Southampton, 1992, p 11 Southampton 92.
38 - Numerical simulation of the dynamical mechanical properties of homogeneous and granular energetic materials. 25th Int. Annual Conference of ICT, june 28- July 1, 1994, Karlsruhe ICT 94
39 - Simulation numérique du comportement et de la rupture des solides composites ou homogènes. Méc. Ind. et Matériaux, Vol. 48, n° 3, 1995 Composites_95.
40 - Numerical Modeling of the mechanical behaviour of composite materials. - Prog. Adv. Mater. Mech., Proc. Int. Conf. on Adv. Mater., Aug. 12-15, 1996, Beijing ICAM 96.
41 - Relativités et quanta clarifiés, Publibook, Paris, 2007.