jeudi 7 mai 2009
La relativité restreinte
- De Galilée à Einstein
Le principe de relativité consiste à dire qu'un mouvement est relatif. Chacun peut s'en rendre compte dans un train en gare où on ne sait pas si c'est lui ou son voisin qui démarre. Au démarrage on peut ressentir une accélération qui indique que c'est nous qui accélérons. Ce qu'on détecte c'est un changement d'accélération par rapport au repos. Pour le comprendre, le plus simple est de partir d'un mouvement loin de toute masse, c'est-à-dire en apesanteur. Pour créer une acélérration, il faut, par exemple, mettre son moteur-fusée en marche. En vertu du théorême de la conservation de la quantité de mouvement, le centre de gravité de l'ensemble va garder la même vitesse constante par rapport à n'importe quel référentiel galiléen. Le passager de la fusée ressentira une accélération mais pas le centre de gravité. En effet le centre de gravité de l'ensemble fusée plus gaz d'échappement reste constant même si la masse de gaz éjecté est faible car leur vitesse est mille fois supérieure à celle de la fusée et sont donc expédiés bien plus loin ce qui permet de garder le centre de gravité de l'ensemble immobile. De même, lorsqu'un train démarre, il exerce une force sur les rails. Cette force imprime un mouvement de rotation à la Terre, certes très faible mais que l'on peut calculer grâce au principe de conservation de la quantité de mouvement ou du moment cinétique dans le cas d'une rotation. La vitesse imprimée par le train à la Terre est très faible car elle est dans le rapport de leurs masses. Einstein a généralisé la composition des vitesses de telle sorte que la vitesse de la lumière ne puisse être dépassée grâce à un coefficient fonction des vitesses d'entraînement, relative et de la lumière. C'est la transformation de Lorentz qui reste linéaire comme celle de Galilée mais avec un paramètre en plus, le temps.
Le "paradoxe des jumeaux", imaginé par Langevin, a fait couler beaucoup d'encre et ressemble aux discussions byzantines sur le sexe des anges. En effet il est basé sur la notion de référentiel inertiel, c'est-à-dire à vitesse constante. Mais cela doit être fait par rapport au même référentiel inertiel. Cela est d'ailleurs pratiquement impossible à réaliser. Le fait que l'un des voyageurs est accéléré et pas l'autre est faux puisque le voyageur "immobile" est soumis non seulement à l'accélération centripète due à la rotation de la Terre mais aussi à l'accélération de la pesanteur alors que le voyageur du cosmos est soumis à une accélération non comparable.
- De Lorentz à Einstein
Le diagramme ci-après montre comment on passe de la transformation de Lorentz à la relation d'Einstein E = mc², de façon rationnelle. La constance de la vitesse de la lumière ou les équations de Maxwell ont pour conséquence la transformation de Lorentz puis la dilatation du temps et la contraction des longueurs ainsi que la transformation des vitesses et accélérations. En utilisant le temps comme quatrième dimension, on obtient la métrique de Minkowski. La transformation de l’accélération a pour conséquence, associée à la loi fondamentale de la dynamique, la proportionnalité de l'énergie cinétique à la variation de masse multipliée par c². Enfin, avec l’hypothèse supplémentaire que l’énergie contenue dans une masse donnée lui est proportionnelle, on obtient la formule E = mc2.
Tous les détails dans mon livre "Relativités et quanta clarifiés", publié chez Publibook
consultable sur Google livres, Amazon et dans toutes les bonnes
librairies scientifiques ainsi que dans plusieurs dizaines de
bibliothèques universitaires. On trouvera la substantifique moelle de
la relativité restreinte avec une démonstration de la formule
E = mc² sur Relativité restreinte Voir aussi la version anglaise.
La relativité restreinte se ramène à la notion d'espace-temps avec une quatrième dimension ict où i est le nombre imaginaire racine carrée de -1, c la vitesse de la lumière et t le temps. On obtient ce résultat en combinant le principe de relativité, la constance de la vitesse de la lumière dans une relation linéaire qui est la transformation de Lorentz.
samedi 5 juillet 2008
La croissance des arbres
Chacun sait que les plantes poussent vers la lumière, c'est le phototropisme et que les racines poussent vers le bas, c'est le gravitropisme ou, anciennement, géotropisme. L’arbre serait programmé génétiquement pour s’élancer vers la lumière et les arbres sont capables de contrôler leur forme en induisant des précontraintes (c'est du vitalisme, théorie réfutée par Darwin). En réalité, les plantes poussent vers le haut et là où il y a de la lumière. Ce sont uniquement les extrémités des branches qui poussent vers le haut. Les parties lignifiées fléchissent constamment, leur redressement est un mythe puisque les branches sont systématiquement élaguées pour éviter de gêner le passage.
Croissance vers le haut (gravitropisme négatif)
Les feuilles transforment le carbone de l’air et l’eau montant du sol par capillarité ou osmose en hydrates de carbone puis en matière plastique (cellulose, lignine…) grâce à la photosynthèse.
Ce sont les rayons diffusés par l’atmosphère, responsables du ciel bleu, riches en ultraviolets, qui font pousser les plantes car ils sont plus énergétiques que les rayons directs du soleil, riches en infrarouges. Si c’étaient les rayons directs du soleil qui faisaient pousser les plantes, elles seraient inclinées vers le sud dans les régions septentrionales.
Croissance vers la lumière (phototropisme positif)
Les branches semblent se redresser vers leurs extrémités. En fait,
elles poussent vers le haut mais fléchissent vers le bas car les rameaux sont initialement moins
inclinés et même souvent verticaux comme dans le cas de la réitération
où la lumière arrive également de toutes les directions, à travers le
houppier.
Les plantes poussent en transformant le carbone de l'air
en diverses matières plastiques comme la cellulose et la lignine qui,
en polymérisant, ont un retrait.
On peut certes observer des rameaux qui se redressent mais ils sont généralement verts ou feuillus et absorbent donc l'énergie lumineuse par photosynthèse. Lorsqu'ils sont inclinés ils recoivent plus d'énergie du côté ciel et créent donc plus de matière polymérique. Le retrait de polymérisation va exercer une traction du côté supérieur du rameau qui va se redresser. La courbure est plus importante à l'extrémité des branches où l'épaisseur des cernes étant proche du diamètre du rameau, l'effet du retrait de polymérisation est relativement plus important. Le retrait est plus faible dans la partie inférieure du cerne car, recevant moins de lumière, il polymérise moins vite. Ce processus ne peut se produire en présence d'écorce, qui est généralement inerte et arrête la lumière, ce qui empêche la photopolymérisation analogue à celle qu'utilisent les dentistes qui font polymériser le plastique destiné à obturer les caries.
A la limite d'une forêt, le long d’un cours d’eau ou près d’un immeuble, on constate aussi que les arbres sont inclinés vers la lumière. Ce n'est pas parce qu'ils sont attirés par la lumière mais parce que les branches du côté de la forêt, ayant moins de lumière, poussent moins vite. L'arbre, étant plus lourd côté lumière, va donc fléchir de ce côté.
Arbre pleureur (gravitropisme positif)
Les rameaux n’arrivent pas à se redresser, peut-être parce que la tige de la branche se lignifie trop rapidement ou que le poids des parties vertes est trop important.
Flexion des branches
Sur la photo ci-contre, les branches sont pratiquement droites et plient sous leur poids au fur et à mesure de leur croissance. Pour une même espèce, les branches peuvent avoir des formes différentes, dépendant des conditions environnementales. A droite, les branches sont courbes. Les branches inférieures fléchissent et présentent le point d'inflexion prévu par un modèle numérique ne faisant appel qu'à l'élasticité classique et à la notion de croissance comme le prouve l'araucaria araucana du Jardin des Plantes ci-dessous :
Les branches ont tendance à pousser vers le haut, mais, leur poids augmentant avec leur croissance, elles fléchissent vers le bas selon les lois de la pesanteur et de la mécanique. C’est pourquoi les vieilles branches doivent être soutenues par des béquilles car leur épaississement ne produit pas de redressement. On le voit rarement car les branches basses sont élaguées naturellement en forêt et artificiellement en ville.
On observe sur la photo ci-dessus le phénomène de réitération à
l’extrémité de la grande branche horizontale. Elle est suffisamment
raide pour que la dernière branche, de faible poids et soumise à un
éclairement pas particulièrement orienté à travers le houppier, reste
verticale.
Après avoir marcotté ou en s’appuyant sur le sol, une
branche reprend sa croissance vers le haut puis fléhit sous son propre
poids.
Ceci peut d’ailleurs se retrouver par le calcul (voir l’article « Forme d’une branche » sur le même site avec le calcul complet en pièce jointe ainsi que l’article en anglais « Equilibrium shape of a tree branch ») :
On croit souvent que les arbres se redressent; cependant, les branches ne se redressent pas vraîment comme on peut le voir sur les vieilles branches qui ont besoin d'un support pour ne pas finir par toucher le sol.
On peut le voir aussi sur les cocotiers, ces faux arbres dont les palmes reçoivent plus de lumière du côté mer ce qui les alourdit et les fait pencher du même côté. Ils poussent vers le haut mais continuent à pencher sous leur poids croissant, ce qui explique leur forme particulière où l'extrémité est quasi-verticale.
Une vieille branche peut être fortement courbée mais on ne peut la redresser sans la casser: sa déformation est permanente. Ce n'est dû ni à la déformation plastique ni à la viscoélasticité mais à la combinaison de la croissance en épaisseur et du fléchissement dû à l'augmentation de poids de la branche. Ceux qui mesurent des déformations et en déduisent les contraintes se trompent car même s'il n'y a ni plasticité ni viscoélasticité, il n'y a pas proportionnalité entre contrainte et déformation car la branche s'est épaissie et alourdie simultanément. La confusion fréquente entre contrainte et déformation vient de ce que strain-gage, capteur de déformation, a été traduit en jauge de contrainte. La croissance en épaisseur produit des cellules végétales libres de toute contrainte qui augmentent la raideur de la branche sans provoquer de redressement mais, au contraire, une flexion supplémentaire due à l'alourdissement de la branche. Peut-être aussi un retrait de polymérisation qui est vraisemblablement peu différent sur les fibres supérieure et inférieure. Je n'en ai encore trouvé aucun chiffrage.
La viscoélasticité du bois existe certes mais est faible puisque les poutres de bois des maisons du moyen-âge ne sont pas particulièrement fléchies. Les vieilles branches fléchissent à cause de leur poids croissant, pas à cause de la viscoélasticité.
L'impression de redressement provient de ce que l'extrémité de la branche pousse vers le haut, tout en étant plus ou moins inclinée selon la symétrie de l'éclairement reçu. L'illusion du redressement provient de ce que les botanistes appellent la réitération ou repousse des arbres (voir photo plus haut) c'est-à-dire que des branches apparaissant le long d'un tronc horizontal poussent verticalement et se comportent comme des arbres. En fait, toutes les branches poussent verticalement mais plient sous leur propre poids sauf si elles partent d'une branche suffisamment épaisse qui ne fléchit pratiquement plus. D'ailleurs, si les arbres ont un tronc c'est, sauf pour certains conifères, parce que les branches basses sont élaguées, soit naturellement, soit par les animaux ou les hommes. Le tronc est la branche la plus verticale.
Des expériences ont été faites sur des jeunes peupliers montrant un redressement. Malheureusement il n'y a qu'une seule photo alors qu'il aurait fallu en faire au moins deux à un an d'intervalle de préférence lorsque les feuilles sont tombées.
J'ai fait une expérience un peu différente mais on ne constate aucun redressement, bien au contraire, le rameau fléchit constamment sous son poids croissant comme le prouvent les photos ci-après:
On remarque que l'extrémité de la branche a tendance à pousser verticalement mais s'incline, entraînée par le fléchissement de la branche dont le poids croît constamment.
Ces poutres, à Venise, tiennent toujours:
Dans le Marais à Paris, on trouve aussi de vieilles poutres bien que renforcées: 
Après trois siècles d'existence, le pistachier du Jardin des plantes ne s'est pas redressé. Il a même besoin de deux béquilles :
La différence entre le comportement d'une poutre en bois et celui d'une branche est le phénomène de croissance comme je l'ai mis en équations dans ma Note à l"Académie.
Article récent sur le sujet me citant.
vendredi 14 décembre 2007
Forme d'une branche
1. INTRODUCTION. - L'étude des contraintes dans les matériaux vivants a fait l'objet d'un certain nombre de publications: contraintes due à l'anisotropie de la croissance [1], influence des contraintes sur la croissance [2] et même viscoélasticité [3] ou la plasticité. L'influence de la pesanteur sur la croissance est connue sous les noms de gravimorphisme [4] ou géotropisme [5]. La forme des arbres doit satisfaire à des critères élastiques pour résister à leur propre poids [6]. Les contraintes de croissance et en particulier celles créées par le bois de réaction jouent un rôle important [7,8]. Cependant nous nous limiterons ici à décrire une branche comme un corps élastique pesant ayant une croissance anisotrope, dans une direction fixe.
2. APPLICATION AUX BRANCHES DE LA THEORIE DE LA FLEXION DES POUTRES. - Les efforts que doivent supporter les branches d'un arbre sont essentiellement des efforts de flexion dûs à leur poids propre. La première idée qui vient à l'esprit est de leur appliquer la théorie de la flexion des poutres.
Le modèle proposé est basé sur un certain nombre d'hypothèses physiques et biologiques. Le matériau constituant la branche est élastique linéaire, ses propriétés physiques (densité et module) sont constantes et uniformes. Le bois neuf est libre de toute contrainte. La branche est soumise à la seule pesanteur et à des efforts de flexion pure, sans effort tranchant, dans la mesure où elle est suffisamment élancée. La branche pouvant prendre une forme très différente de sa forme initiale, on applique l'Elasticité en grands déplacements, ou Elastique [9], qui utilise l'expression exacte de la courbure et non la dérivée seconde de l'ordonnée par rapport à l'abscisse. Comme on applique les formules de la flexion pure, l'anisotropie du bois n'intervient pas. La branche croît dans une direction fixe, sans ramifications, encastrée dans un tronc droit, à vitesse constante sur une même branche quel que soit son âge d'apparition, à largeur des cernes annuels également constante. Il n'y a pas d'élagage, naturel ou non, ni de contact avec le sol. Pour prendre en compte les changements de dimensions de la branche, on a été amené à remplacer la relation linéaire entre les contraintes et les déformations (ou entre les moments et les courbures), par la même relation entre leurs dérivées, comme en Hypoélasticité [2,3].
La théorie de l'Elasticité, où les déformations sont réversibles et la répartition des contraintes à travers la section est linéaire, s'applique à un objet dont la géométrie est donnée à l'avance et qui est supposé libre de toute contrainte dans son état initial, par exemple une branche soumise temporairement à l'action du vent ou au poids de la neige ou des fruits. Considérons une branche non pesante: c'est une poutre droite conique. Supposons maintenant qu'elle devienne soudain pesante, en appliquant directement à cette poutre la théorie élastique de la flexion, on obtiendrait une déformée ayant une concavité vers le bas.
Une poutre fléchie reprend pratiquement sa forme initiale lorsqu'on libère les efforts appliqués. Une branche coupée ne se redresse que très partiellement, surtout si elle est âgée. La courbure de la branche, permanente, correspond à une déformation souvent très supérieure à la déformation à la rupture du bois. Elle pourrait être attribuée en partie à la viscoélasticité et à la plasticité du matériau, mais l'essentiel de cette courbure est dû au couplage entre la flexion et la croissance. Le bois neuf constitue un manchon initialement libre de toute contrainte. Or, dans la théorie des poutres, la répartition des contraintes à travers la section est linéaire. Dans une branche, elle ne peut l'être car, étant nulle en surface, elle serait nulle partout. Si on coupe la branche, pour calculer la répartition des contraintes satisfaisant au nouvel équilibre mécanique, on superpose à l'ancienne répartition une répartition qui, étant linéaire, ne pourra libérer entièrement les contraintes internes. Le bois récent, en maintenant déformé le bois ancien, empêche la branche de se redresser.
La branche grandit dans la direction de croissance, vers le haut, se renforce et fléchit un peu vers le bas, à chaque cycle de croissance, sous son accroissement de poids. La courbure est négative lorsque la flexion l'emporte sur la croissance et positive dans le cas contraire (la variation de courbure due à la maturation du bois [10] n'est pas prise en compte dans ce schéma). La courbure est orientée vers le bas du côté du tronc et vers le haut à l'extrémité des branches. Ce changement de signe de la courbure se traduit par une forme infléchie qui va être calculée dans le paragraphe suivant.
3. PRINCIPE DU CALCUL. - En admettant que la vitesse de croissance soit constante, la longueur de la branche et son diamètre sont proportionnels au temps. Le rayon varie donc linéairement le long de la branche (largeur des cernes constante).
On calcule le moment d'inertie (section circulaire) et la variation du poids par unité de longueur et de temps. On applique à chaque instant et à chaque point de la branche la formule de la flexion des poutres dα/ds = M/EI où α est l'angle d'inclinaison de la branche à l'endroit et à l'instant considérés, M le moment d'inertie, E le module d'élasticité de Young et I le moment d'inertie. Il faut dériver par rapport au temps pour intégrer en fonction du temps et obtenir la flèche à la fois le long de la branche et son cumul dans le temps.
Il s'agit d'un calcul en grands déplacements analogue à l'élastique d'Euler et en fonction du temps. Ce calcul ne peut se faire que numériquement par différences finies. On procède par itération, chaque itération correspondant à un cycle de croissance. La nouvelle forme de branche est calculée à partir de l'ancienne, considérée comme une poutre de forme et de dimensions connues par le précédent calcul. On lui applique une charge répartie correspondant à l'augmentation de poids acquise durant ce cycle. Les déplacements calculés sont ensuite ajoutés aux anciennes coordonnées pour obtenir la nouvelle forme de branche. On résout ainsi les problèmes dûs aux grands déplacements ainsi qu'aux changements d'épaisseur et de longueur de la branche.
Pratiquement, la branche est divisée en maillons équidistants. La distance entre les maillons reste constante puisque les branches d'arbre ne s'allongent qu'à leurs extrémités. Les dérivées ont été remplacées par des différences entre maillons successifs et les intégrales par de simples sommations.
Les figures 1 à 3 montrent le résultat des calculs lorsqu'on fait varier l'angle de départ des rameaux. La comparaison des figures 2 et 4 montre que deux arbres de caractéristiques identiques mais de tailles différentes ne sont pas semblables, c'est l'effet d'échelle.
Le texte complet avec les équations peut être téléchargé ici-> Texte complet