jeudi 7 mai 2009
La relativité restreinte
- De Galilée à Einstein
Le principe de relativité consiste à dire qu'un mouvement est relatif. Chacun peut s'en rendre compte dans un train en gare où on ne sait pas si c'est lui ou son voisin qui démarre. Au démarrage on peut ressentir une accélération qui indique que c'est nous qui accélérons. Ce qu'on détecte c'est un changement d'accélération par rapport au repos. Pour le comprendre, le plus simple est de partir d'un mouvement loin de toute masse, c'est-à-dire en apesanteur. Pour créer une acélérration, il faut, par exemple, mettre son moteur-fusée en marche. En vertu du théorême de la conservation de la quantité de mouvement, le centre de gravité de l'ensemble va garder la même vitesse constante par rapport à n'importe quel référentiel galiléen. Le passager de la fusée ressentira une accélération mais pas le centre de gravité. En effet le centre de gravité de l'ensemble fusée plus gaz d'échappement reste constant même si la masse de gaz éjecté est faible car leur vitesse est mille fois supérieure à celle de la fusée et sont donc expédiés bien plus loin ce qui permet de garder le centre de gravité de l'ensemble immobile. De même, lorsqu'un train démarre, il exerce une force sur les rails. Cette force imprime un mouvement de rotation à la Terre, certes très faible mais que l'on peut calculer grâce au principe de conservation de la quantité de mouvement ou du moment cinétique dans le cas d'une rotation. La vitesse imprimée par le train à la Terre est très faible car elle est dans le rapport de leurs masses. Einstein a généralisé la composition des vitesses de telle sorte que la vitesse de la lumière ne puisse être dépassée grâce à un coefficient fonction des vitesses d'entraînement, relative et de la lumière. C'est la transformation de Lorentz qui reste linéaire comme celle de Galilée mais avec un paramètre en plus, le temps.
Le "paradoxe des jumeaux", imaginé par Langevin, a fait couler beaucoup d'encre et ressemble aux discussions byzantines sur le sexe des anges. En effet il est basé sur la notion de référentiel inertiel, c'est-à-dire à vitesse constante. Mais cela doit être fait par rapport au même référentiel inertiel. Cela est d'ailleurs pratiquement impossible à réaliser. Le fait que l'un des voyageurs est accéléré et pas l'autre est faux puisque le voyageur "immobile" est soumis non seulement à l'accélération centripète due à la rotation de la Terre mais aussi à l'accélération de la pesanteur alors que le voyageur du cosmos est soumis à une accélération non comparable.
- De Lorentz à Einstein
Le diagramme ci-après montre comment on passe de la transformation de Lorentz à la relation d'Einstein E = mc², de façon rationnelle. La constance de la vitesse de la lumière ou les équations de Maxwell ont pour conséquence la transformation de Lorentz puis la dilatation du temps et la contraction des longueurs ainsi que la transformation des vitesses et accélérations. En utilisant le temps comme quatrième dimension, on obtient la métrique de Minkowski. La transformation de l’accélération a pour conséquence, associée à la loi fondamentale de la dynamique, la proportionnalité de l'énergie cinétique à la variation de masse multipliée par c². Enfin, avec l’hypothèse supplémentaire que l’énergie contenue dans une masse donnée lui est proportionnelle, on obtient la formule E = mc2.
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la relativité restreinte avec une démonstration de la formule
E = mc² sur Relativité restreinte Voir aussi la version anglaise.
La relativité restreinte se ramène à la notion d'espace-temps avec une quatrième dimension ict où i est le nombre imaginaire racine carrée de -1, c la vitesse de la lumière et t le temps. On obtient ce résultat en combinant le principe de relativité, la constance de la vitesse de la lumière dans une relation linéaire qui est la transformation de Lorentz.
dimanche 22 juillet 2007
Paradoxe des jumeaux de Langevin
Langevin avait imaginé un voyage intersidéral de deux ans par un explorateur à l'aide d'un wagon projectile (ou une fusée), capable d'atteindre une vitesse voisine de celle de la lumière, et qu'il allait faire le tour d'un astre situé à une année-lumière de distance. Dans ces conditions, le voyage, pour l'explorateur, aurait duré deux ans, mais la Terre pourrait avoir vieilli de deux cents ans, lorsqu'il serait de retour. C'est ce qu'on appelle maintenant le paradoxe des jumeaux. Il ne semble pas qu'Einstein ait donné son avis sur la question, peut-être pour ne pas gêner Langevin grâce à qui il avait pu présenter sa théorie de la relativité à l'Académie des Sciences.
Pour comprendre le paradoxe des jumeaux, la façon la plus simple est de partir de la notion d'espace-temps de la relativité restreinte. D'Alembert, au XVIIe siècle avait déjà imaginé la quatrième dimension, concrétisée par Minkowski et généralisée par Einstein à l'espace courbe pseudo-riemannien.
Calcul dans l'espace de Minkowski
Considérons d'abord un espace euclidien à deux dimensions, le plan, où se déplacent deux jumeaux J1 et J2 partant de l'origine O des axes Ox et Oy pour atteindre un point P sur l'axe des y. Le premier prend le chemin direct en longeant l'axe des y, l'autre fait un détour pour arriver en P. Le premier aura parcouru la droite Oy sur une distance
et le second sur une courbe de longueur
Lorsqu'ils arrivent en P, ils ont les mêmes coordonnées (0,yP). En posant y=ict, où t est le temps-coordonnée, on passe dans le plan de Minkowski
et
ce qu'on peut écrire en utilisant le temps propre ou intervalle d'espace-temps τ:
et
où v est la vitesse dx/dt du jumeau voyageur par rapport au jumeau casanier. On retrouve la formule donnée par Landau et Lifchitz dans le paragraphe 3 sur le temps propre mais la suite est obscure.
Les deux jumeaux se rejoignent au même point P de coordonnées (0, ictP) de l'espace-temps et ont donc la même position. Le problème est de savoir si les horloges des jumeaux coïncident ou non lors de leurs retrouvailles.
Géocentrisme
Cependant, le chemin parcouru n'est pas le même. Le jumeau voyageur aura mis moins de temps que le jumeau casanier puisque τ2 est inférieur à τ1. Dans l'espace de MInkowski, un détour est plus court qu'un chemin direct. En réalité le jumeau "immobile" a aussi voyagé, non seulement dans le temps, mais aussi avec la Terre, qui tourne. Il a donc, en plus de la vitesse de la Terre, subi l'accélération de la force centrifuge due à sa rotation et celle due à l'accélération de la pesanteur. Son référentiel n'est donc pas plus galiléen que celui de son jumeau. L'argument qui consiste à dire que le jumeau voyageur n'a pas un mouvement galiléen et que le jumeau casanier en a un ne tient donc pas. Aucun de ces référentiels n'est galiléen aucun n'est privilégié. Il n'y a pas de géocentrisme.
Ptolémée avait créé un système basé sur les épicycles (l'épicycloïde est la trajectoire d'une roue qui roule sur
la circonférence d'une autre roue) où le Soleil tourne autour de la Terre. On est passé d'un référentiel tournant avec la Terre au référentiel "absolu" de Copernic centré sur le Soleil et dont les axes ont une orientation fixe par rapport aux étoiles. Un référentiel galiléen a un mouvement uniforme (rectiligne et à vitesse constante) par rapport à un référentiel absolu, c'est-à-dire, pratiquement, le référentiel copernicien.
Relativités retreinte et générale
L’accélération centrifuge due à la rotation de la Terre, comme l’accélération de la gravité, dépend de la direction d’observation. Or l’expérience de Michelson a montré que la vitesse de la lumière était constante et ne dépendait pas de la direction d’observation (ni de la vitesse d'émission comme cela a été montré plus tard grâce à des étoiles de vitesse connue). On pourrait donc en conclure qu'une accélération n'a pas d’influence sur la vitesse de la lumière ni sur l'écoulement du temps selon la relativité restreinte. La relativité générale prévoit pourtant une variation de la vitesse de la lumière dans un champ de gravitation qui ne dépend pas de la direction de l'accélération gravitationnelle. Cela explique donc que la vitesse de la lumière dépend de l'amplitude de la gravitation ou de l'accélération mais pas de sa direction. Dans des référentiels non galiléens on pourrait donc avoir une accélération ou un ralentissement du temps pour un voyage aller-retour mais cela reste à prouver.
L'expérience des mésons
Comme l'a montré l'expérience des mésons, la vitesse a une influence sur leur horloge vue par un observateur terrestre supposé immobile. Il observe une durée de vie des mésons plus grande quand ils se propagent dans la haute atmosphère à une vitesse proche de celle de la lumière qu'en laboratoire où on peut les observer pratiquement au repos. Les mésons, immobiles dans leur référentiel propre, voient les Terriens se propager à grande vitesse et mourir très vite.
L'expérience des horloges embarquées
Les mésons sont observés à distance et ne peuvent être capturés. La situation est différente de celle des jumeaux qui sont réunis au départ et à l'arrivée, ce qui est sans doute impossible à réaliser avec les mésons. On peut le réaliser avec des horloges, ce qui a été fait en leur faisant faire le tour de la Terre en avion. Au retour, lorsque les horloges se retrouvent au lieu de départ, on constate un faible décalage horaire. Il reste toutefois à prouver par des mesures incontestables que les écarts sont définitifs. En effet, la précision et la signification de l'expérience de Hafele et Keating à l'aide d'horloges atomiques embarquées en avion autour de la Terre ont été critiquées par l'inventeur de l'horloge atomique, Louis Essen.
Conclusion
Dans l'état actuel de la science, on ne peut conclure qu'on vieillit moins vite dans un voyage intersidéral qu'en restant dans son lit tournant (donc accéléré) avec la Terre. Il serait donc nécessaire de tenir compte, dans le calcul d`intégration, de la variation de la vitesse, autrement dit, de l`accélération. Des expériences significatives sont encore nécessaires.