jeudi 7 mai 2009
La relativité restreinte
- De Galilée à Einstein
Le principe de relativité consiste à dire qu'un mouvement est relatif. Chacun peut s'en rendre compte dans un train en gare où on ne sait pas si c'est lui ou son voisin qui démarre. Au démarrage on peut ressentir une accélération qui indique que c'est nous qui accélérons. Ce qu'on détecte c'est un changement d'accélération par rapport au repos. Pour le comprendre, le plus simple est de partir d'un mouvement loin de toute masse, c'est-à-dire en apesanteur. Pour créer une acélérration, il faut, par exemple, mettre son moteur-fusée en marche. En vertu du théorême de la conservation de la quantité de mouvement, le centre de gravité de l'ensemble va garder la même vitesse constante par rapport à n'importe quel référentiel galiléen. Le passager de la fusée ressentira une accélération mais pas le centre de gravité. En effet le centre de gravité de l'ensemble fusée plus gaz d'échappement reste constant même si la masse de gaz éjecté est faible car leur vitesse est mille fois supérieure à celle de la fusée et sont donc expédiés bien plus loin ce qui permet de garder le centre de gravité de l'ensemble immobile. De même, lorsqu'un train démarre, il exerce une force sur les rails. Cette force imprime un mouvement de rotation à la Terre, certes très faible mais que l'on peut calculer grâce au principe de conservation de la quantité de mouvement ou du moment cinétique dans le cas d'une rotation. La vitesse imprimée par le train à la Terre est très faible car elle est dans le rapport de leurs masses. Einstein a généralisé la composition des vitesses de telle sorte que la vitesse de la lumière ne puisse être dépassée grâce à un coefficient fonction des vitesses d'entraînement, relative et de la lumière. C'est la transformation de Lorentz qui reste linéaire comme celle de Galilée mais avec un paramètre en plus, le temps.
Le "paradoxe des jumeaux", imaginé par Langevin, a fait couler beaucoup d'encre et ressemble aux discussions byzantines sur le sexe des anges. En effet il est basé sur la notion de référentiel inertiel, c'est-à-dire à vitesse constante. Mais cela doit être fait par rapport au même référentiel inertiel. Cela est d'ailleurs pratiquement impossible à réaliser. Le fait que l'un des voyageurs est accéléré et pas l'autre est faux puisque le voyageur "immobile" est soumis non seulement à l'accélération centripète due à la rotation de la Terre mais aussi à l'accélération de la pesanteur alors que le voyageur du cosmos est soumis à une accélération non comparable.
- De Lorentz à Einstein
Le diagramme ci-après montre comment on passe de la transformation de Lorentz à la relation d'Einstein E = mc², de façon rationnelle. La constance de la vitesse de la lumière ou les équations de Maxwell ont pour conséquence la transformation de Lorentz puis la dilatation du temps et la contraction des longueurs ainsi que la transformation des vitesses et accélérations. En utilisant le temps comme quatrième dimension, on obtient la métrique de Minkowski. La transformation de l’accélération a pour conséquence, associée à la loi fondamentale de la dynamique, la proportionnalité de l'énergie cinétique à la variation de masse multipliée par c². Enfin, avec l’hypothèse supplémentaire que l’énergie contenue dans une masse donnée lui est proportionnelle, on obtient la formule E = mc2.
Tous les détails dans mon livre "Relativités et quanta clarifiés", publié chez Publibook
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librairies scientifiques ainsi que dans plusieurs dizaines de
bibliothèques universitaires. On trouvera la substantifique moelle de
la relativité restreinte avec une démonstration de la formule
E = mc² sur Relativité restreinte Voir aussi la version anglaise.
La relativité restreinte se ramène à la notion d'espace-temps avec une quatrième dimension ict où i est le nombre imaginaire racine carrée de -1, c la vitesse de la lumière et t le temps. On obtient ce résultat en combinant le principe de relativité, la constance de la vitesse de la lumière dans une relation linéaire qui est la transformation de Lorentz.
dimanche 22 mars 2009
La mécanique quantique
La mécanique (ou physique) quantique est la partie de la physique où apparaît la constante de Planck.
L'organigramme présente le lien logique entre les différentes équations à la base de la mécanique quantique.
La mécanique quantique est issue à la fois de la théorie des quanta, concrétisée par les formules d'Einstein et de Planck où énergie, fréquence et masse sont proportionnelles.
La proportionnalité de l'énergie à la fréquence a conduit à la formule de Planck expliquant le rayonnement du corps noir. De Broglie a appliqué la relativité aux quanta pour trouver l'onde qui porte son nom. Schrödinger en a déduit l'équation qui porte son nom et la structure de l'atome d'hydrogène. En ajoutant le quatrième nombre quantique, le spin, Bohr, Pauli et d'autres ont pu construire le tableau de Mendeleiev sur une base théorique et non plus empirique.
L'origine relativiste de l'onde de matière, trouvée par de Broglie a été oubliée dans les manuels qui ne connaissent que la formule donnant la longueur d'onde de de Broglie. L'extrait de mon livre ci-après montre comment de Broglie l'a trouvée à partir de la relativité et de son hypothèse de conservation de la phase.
Tous les détails dans mon livre "Relativités et quanta clarifiés", publié chez Publibook consultable sur Google livres, Amazon, dans toutes les bonnes librairies scientifiques ainsi que dans plusieurs dizaines de bibliothèques universitaires.
On trouvera ailleurs une explication compréhensible du spin et du principe d'exclusion de Pauli.
mercredi 7 mai 2008
La relativité générale
La relativité générale est le passage de l'espace-temps de Minkowski à un espace-temps courbe. On peut aussi l'obtenir partiellement à partir de la mécanique newtonienne qui donne un coefficient du temps fonction des coordonnées spatiales. Cependant, dans un deuxième temps, Einstein s'est aperçu qu e le coefficient des coordonnées spatiales devait être le même, inversé, ce qui double la déviation de la lumière par le soleil, conformément à l'observation.
Le diagramme ci-après schématise le passage de la mécanique newtonienne et de la relativité restreinte aux équations d’Einstein. Il n’est pas aussi logique que pour la relativité restreinte car j’ai suivi l’ordre historique en trois étapes, 1911, avec la relativité en limite newtonienne, 1916, avec la métrique de Schwarzschild et l’équation du déterminant, et enfin les équations d’Einstein. Celles-ci auraient dû apparaître au départ, de même que la transformation de Lorentz, mais cela permet au lecteur d’assimiler progressivement la théorie.
La relativité générale est la relativité restreinte sans la dynamique relativiste mais où les coefficients de la métrique sont fonction du potentiel de gravitation.
La première équation en haut à gauche est la métrique de Minkowski. En lui appliquant le principe d'équivalence entre l'accélération cinématique et l'accélération de la gravitation, Einstein a obtenu la relation entre la vitesse de la lumière et le potentiel de gravitation Φ. On obtient ainsi une métrique dite en limite newtonienne où seul le coefficient de d(ict)² = -c²dt² est fonction du potentiel de gravitation Φ. La métrique peut se transformer en lagrangien pour calculer la trajectoire d'un objet vers un trou noir ou la trajectoire de Mercure autour du Soleil. Or la théorie précédente, formulée par Einstein en 1911 est insuffisante. Il l'a modifiée en faisant appel au calcul tensoriel et obtenu en 1916 les équations qui portent son nom.
Les équations d'Einstein expriment que, hors de toute matière, dans un champ de gravitation, le tenseur de Ricci est nul. Pour le comprendre considérons un espace à deux dimensions, c'est-à-dire une surface. Le tenseur de Ricci d'une surface n'a que deux composantes proportionnelles au tenseur de Riemann. Le tenseur de Riemann d'une surface n'est autre que sa courbure de Gauss, à un coefficient près, égal à un en coordonnées de Riemann. Les coordonnées de Riemann sont des coordonnées cartésiennes avec un référentiel dont l'ordonnée z est perpendiculaire à la surface, x et y sont dans le plan tangent à la surface et coïncident avec les axes de symétrie de la surface en ce point. En deux dimensions et en coordonnées de Riemann, la courbure de Gauss, produit des courbures principales de la surface, est égale au tenseur de Riemann.
La nullité du tenseur de Riemann et, donc de la courbure de Gauss d'une surface veut dire que cette surface est analogue à une feuille de papier qui peut être transformée en un cône, un cylindre ou autre, mais pas en une sphère ou un paraboloïde. La nullité du tenseur de Ricci en est une généralisation à un espace de dimension quelconque.
De la même façon qu'on approxime une courbe quelconque par une parabole, on approxime localement la surface par un paraboloïde. L'équation d'Einstein se simplifie alors en un laplacien qu'on peut généraliser en trois dimensions pour donner l'équation de Laplace dont la solution en symétrie sphérique est justement la loi de la gravitation de Newton. En passant aux quatre dimensions de l'espace-temps, avec, comme quatrième coordonnée w=ict, il apparaît un signe moins et l'équation de Laplace quadridimensionnelle devient celle de d'Alembert : ce sont les ondes gravitationnelles, non encore observées.
Dans la matière, l'équation de Laplace est remplacée par celle de Poisson. De même, les équations d'Einstein prennent un second membre, le tenseur énergie-impulsion. La première équation correspond à la masse spécifique qui apparaît dans l'équation de Poisson. Les trois autres sont les équations, relativistes, de la dynamique des fluides.
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