samedi 5 juillet 2008
La croissance des arbres
Chacun sait que les plantes poussent vers la lumière, c'est le phototropisme et que les racines poussent vers le bas, c'est le gravitropisme ou, anciennement, géotropisme. L’arbre serait programmé génétiquement pour s’élancer vers la lumière et les arbres sont capables de contrôler leur forme en induisant des précontraintes (c'est du vitalisme, théorie réfutée par Darwin). En réalité, les plantes poussent vers le haut et là où il y a de la lumière. Ce sont uniquement les extrémités des branches qui poussent vers le haut. Les parties lignifiées fléchissent constamment, leur redressement est un mythe puisque les branches sont systématiquement élaguées pour éviter de gêner le passage.
Croissance vers le haut (gravitropisme négatif)
Les feuilles transforment le carbone de l’air et l’eau montant du sol par capillarité ou osmose en hydrates de carbone puis en matière plastique (cellulose, lignine…) grâce à la photosynthèse.
Ce sont les rayons diffusés par l’atmosphère, responsables du ciel bleu, riches en ultraviolets, qui font pousser les plantes car ils sont plus énergétiques que les rayons directs du soleil, riches en infrarouges. Si c’étaient les rayons directs du soleil qui faisaient pousser les plantes, elles seraient inclinées vers le sud dans les régions septentrionales.
Croissance vers la lumière (phototropisme positif)
Les branches semblent se redresser vers leurs extrémités. En fait,
elles poussent vers le haut mais fléchissent vers le bas car les rameaux sont initialement moins
inclinés et même souvent verticaux comme dans le cas de la réitération
où la lumière arrive également de toutes les directions, à travers le
houppier.
Les plantes poussent en transformant le carbone de l'air
en diverses matières plastiques comme la cellulose et la lignine qui,
en polymérisant, ont un retrait.
On peut certes observer des rameaux qui se redressent mais ils sont généralement verts ou feuillus et absorbent donc l'énergie lumineuse par photosynthèse. Lorsqu'ils sont inclinés ils recoivent plus d'énergie du côté ciel et créent donc plus de matière polymérique. Le retrait de polymérisation va exercer une traction du côté supérieur du rameau qui va se redresser. La courbure est plus importante à l'extrémité des branches où l'épaisseur des cernes étant proche du diamètre du rameau, l'effet du retrait de polymérisation est relativement plus important. Le retrait est plus faible dans la partie inférieure du cerne car, recevant moins de lumière, il polymérise moins vite. Ce processus ne peut se produire en présence d'écorce, qui est généralement inerte et arrête la lumière, ce qui empêche la photopolymérisation analogue à celle qu'utilisent les dentistes qui font polymériser le plastique destiné à obturer les caries.
A la limite d'une forêt, le long d’un cours d’eau ou près d’un immeuble, on constate aussi que les arbres sont inclinés vers la lumière. Ce n'est pas parce qu'ils sont attirés par la lumière mais parce que les branches du côté de la forêt, ayant moins de lumière, poussent moins vite. L'arbre, étant plus lourd côté lumière, va donc fléchir de ce côté.
Arbre pleureur (gravitropisme positif)
Les rameaux n’arrivent pas à se redresser, peut-être parce que la tige de la branche se lignifie trop rapidement ou que le poids des parties vertes est trop important.
Flexion des branches
Sur la photo ci-contre, les branches sont pratiquement droites et plient sous leur poids au fur et à mesure de leur croissance. Pour une même espèce, les branches peuvent avoir des formes différentes, dépendant des conditions environnementales. A droite, les branches sont courbes. Les branches inférieures fléchissent et présentent le point d'inflexion prévu par un modèle numérique ne faisant appel qu'à l'élasticité classique et à la notion de croissance comme le prouve l'araucaria araucana du Jardin des Plantes ci-dessous :
Les branches ont tendance à pousser vers le haut, mais, leur poids augmentant avec leur croissance, elles fléchissent vers le bas selon les lois de la pesanteur et de la mécanique. C’est pourquoi les vieilles branches doivent être soutenues par des béquilles car leur épaississement ne produit pas de redressement. On le voit rarement car les branches basses sont élaguées naturellement en forêt et artificiellement en ville.
On observe sur la photo ci-dessus le phénomène de réitération à
l’extrémité de la grande branche horizontale. Elle est suffisamment
raide pour que la dernière branche, de faible poids et soumise à un
éclairement pas particulièrement orienté à travers le houppier, reste
verticale.
Après avoir marcotté ou en s’appuyant sur le sol, une
branche reprend sa croissance vers le haut puis fléhit sous son propre
poids.
Ceci peut d’ailleurs se retrouver par le calcul (voir l’article « Forme d’une branche » sur le même site avec le calcul complet en pièce jointe ainsi que l’article en anglais « Equilibrium shape of a tree branch ») :
On croit souvent que les arbres se redressent; cependant, les branches ne se redressent pas vraîment comme on peut le voir sur les vieilles branches qui ont besoin d'un support pour ne pas finir par toucher le sol.
On peut le voir aussi sur les cocotiers, ces faux arbres dont les palmes reçoivent plus de lumière du côté mer ce qui les alourdit et les fait pencher du même côté. Ils poussent vers le haut mais continuent à pencher sous leur poids croissant, ce qui explique leur forme particulière où l'extrémité est quasi-verticale.
Une vieille branche peut être fortement courbée mais on ne peut la redresser sans la casser: sa déformation est permanente. Ce n'est dû ni à la déformation plastique ni à la viscoélasticité mais à la combinaison de la croissance en épaisseur et du fléchissement dû à l'augmentation de poids de la branche. Ceux qui mesurent des déformations et en déduisent les contraintes se trompent car même s'il n'y a ni plasticité ni viscoélasticité, il n'y a pas proportionnalité entre contrainte et déformation car la branche s'est épaissie et alourdie simultanément. La confusion fréquente entre contrainte et déformation vient de ce que strain-gage, capteur de déformation, a été traduit en jauge de contrainte. La croissance en épaisseur produit des cellules végétales libres de toute contrainte qui augmentent la raideur de la branche sans provoquer de redressement mais, au contraire, une flexion supplémentaire due à l'alourdissement de la branche. Peut-être aussi un retrait de polymérisation qui est vraisemblablement peu différent sur les fibres supérieure et inférieure. Je n'en ai encore trouvé aucun chiffrage.
La viscoélasticité du bois existe certes mais est faible puisque les poutres de bois des maisons du moyen-âge ne sont pas particulièrement fléchies. Les vieilles branches fléchissent à cause de leur poids croissant, pas à cause de la viscoélasticité.
L'impression de redressement provient de ce que l'extrémité de la branche pousse vers le haut, tout en étant plus ou moins inclinée selon la symétrie de l'éclairement reçu. L'illusion du redressement provient de ce que les botanistes appellent la réitération ou repousse des arbres (voir photo plus haut) c'est-à-dire que des branches apparaissant le long d'un tronc horizontal poussent verticalement et se comportent comme des arbres. En fait, toutes les branches poussent verticalement mais plient sous leur propre poids sauf si elles partent d'une branche suffisamment épaisse qui ne fléchit pratiquement plus. D'ailleurs, si les arbres ont un tronc c'est, sauf pour certains conifères, parce que les branches basses sont élaguées, soit naturellement, soit par les animaux ou les hommes. Le tronc est la branche la plus verticale.
Des expériences ont été faites sur des jeunes peupliers montrant un redressement. Malheureusement il n'y a qu'une seule photo alors qu'il aurait fallu en faire au moins deux à un an d'intervalle de préférence lorsque les feuilles sont tombées.
J'ai fait une expérience un peu différente mais on ne constate aucun redressement, bien au contraire, le rameau fléchit constamment sous son poids croissant comme le prouvent les photos ci-après:
On remarque que l'extrémité de la branche a tendance à pousser verticalement mais s'incline, entraînée par le fléchissement de la branche dont le poids croît constamment.
Ces poutres, à Venise, tiennent toujours:
Dans le Marais à Paris, on trouve aussi de vieilles poutres bien que renforcées: 
Après trois siècles d'existence, le pistachier du Jardin des plantes ne s'est pas redressé. Il a même besoin de deux béquilles :
La différence entre le comportement d'une poutre en bois et celui d'une branche est le phénomène de croissance comme je l'ai mis en équations dans ma Note à l"Académie.
Article récent sur le sujet me citant.
vendredi 14 décembre 2007
Forme d'une branche
1. INTRODUCTION. - L'étude des contraintes dans les matériaux vivants a fait l'objet d'un certain nombre de publications: contraintes due à l'anisotropie de la croissance [1], influence des contraintes sur la croissance [2] et même viscoélasticité [3] ou la plasticité. L'influence de la pesanteur sur la croissance est connue sous les noms de gravimorphisme [4] ou géotropisme [5]. La forme des arbres doit satisfaire à des critères élastiques pour résister à leur propre poids [6]. Les contraintes de croissance et en particulier celles créées par le bois de réaction jouent un rôle important [7,8]. Cependant nous nous limiterons ici à décrire une branche comme un corps élastique pesant ayant une croissance anisotrope, dans une direction fixe.
2. APPLICATION AUX BRANCHES DE LA THEORIE DE LA FLEXION DES POUTRES. - Les efforts que doivent supporter les branches d'un arbre sont essentiellement des efforts de flexion dûs à leur poids propre. La première idée qui vient à l'esprit est de leur appliquer la théorie de la flexion des poutres.
Le modèle proposé est basé sur un certain nombre d'hypothèses physiques et biologiques. Le matériau constituant la branche est élastique linéaire, ses propriétés physiques (densité et module) sont constantes et uniformes. Le bois neuf est libre de toute contrainte. La branche est soumise à la seule pesanteur et à des efforts de flexion pure, sans effort tranchant, dans la mesure où elle est suffisamment élancée. La branche pouvant prendre une forme très différente de sa forme initiale, on applique l'Elasticité en grands déplacements, ou Elastique [9], qui utilise l'expression exacte de la courbure et non la dérivée seconde de l'ordonnée par rapport à l'abscisse. Comme on applique les formules de la flexion pure, l'anisotropie du bois n'intervient pas. La branche croît dans une direction fixe, sans ramifications, encastrée dans un tronc droit, à vitesse constante sur une même branche quel que soit son âge d'apparition, à largeur des cernes annuels également constante. Il n'y a pas d'élagage, naturel ou non, ni de contact avec le sol. Pour prendre en compte les changements de dimensions de la branche, on a été amené à remplacer la relation linéaire entre les contraintes et les déformations (ou entre les moments et les courbures), par la même relation entre leurs dérivées, comme en Hypoélasticité [2,3].
La théorie de l'Elasticité, où les déformations sont réversibles et la répartition des contraintes à travers la section est linéaire, s'applique à un objet dont la géométrie est donnée à l'avance et qui est supposé libre de toute contrainte dans son état initial, par exemple une branche soumise temporairement à l'action du vent ou au poids de la neige ou des fruits. Considérons une branche non pesante: c'est une poutre droite conique. Supposons maintenant qu'elle devienne soudain pesante, en appliquant directement à cette poutre la théorie élastique de la flexion, on obtiendrait une déformée ayant une concavité vers le bas.
Une poutre fléchie reprend pratiquement sa forme initiale lorsqu'on libère les efforts appliqués. Une branche coupée ne se redresse que très partiellement, surtout si elle est âgée. La courbure de la branche, permanente, correspond à une déformation souvent très supérieure à la déformation à la rupture du bois. Elle pourrait être attribuée en partie à la viscoélasticité et à la plasticité du matériau, mais l'essentiel de cette courbure est dû au couplage entre la flexion et la croissance. Le bois neuf constitue un manchon initialement libre de toute contrainte. Or, dans la théorie des poutres, la répartition des contraintes à travers la section est linéaire. Dans une branche, elle ne peut l'être car, étant nulle en surface, elle serait nulle partout. Si on coupe la branche, pour calculer la répartition des contraintes satisfaisant au nouvel équilibre mécanique, on superpose à l'ancienne répartition une répartition qui, étant linéaire, ne pourra libérer entièrement les contraintes internes. Le bois récent, en maintenant déformé le bois ancien, empêche la branche de se redresser.
La branche grandit dans la direction de croissance, vers le haut, se renforce et fléchit un peu vers le bas, à chaque cycle de croissance, sous son accroissement de poids. La courbure est négative lorsque la flexion l'emporte sur la croissance et positive dans le cas contraire (la variation de courbure due à la maturation du bois [10] n'est pas prise en compte dans ce schéma). La courbure est orientée vers le bas du côté du tronc et vers le haut à l'extrémité des branches. Ce changement de signe de la courbure se traduit par une forme infléchie qui va être calculée dans le paragraphe suivant.
3. PRINCIPE DU CALCUL. - En admettant que la vitesse de croissance soit constante, la longueur de la branche et son diamètre sont proportionnels au temps. Le rayon varie donc linéairement le long de la branche (largeur des cernes constante).
On calcule le moment d'inertie (section circulaire) et la variation du poids par unité de longueur et de temps. On applique à chaque instant et à chaque point de la branche la formule de la flexion des poutres dα/ds = M/EI où α est l'angle d'inclinaison de la branche à l'endroit et à l'instant considérés, M le moment d'inertie, E le module d'élasticité de Young et I le moment d'inertie. Il faut dériver par rapport au temps pour intégrer en fonction du temps et obtenir la flèche à la fois le long de la branche et son cumul dans le temps.
Il s'agit d'un calcul en grands déplacements analogue à l'élastique d'Euler et en fonction du temps. Ce calcul ne peut se faire que numériquement par différences finies. On procède par itération, chaque itération correspondant à un cycle de croissance. La nouvelle forme de branche est calculée à partir de l'ancienne, considérée comme une poutre de forme et de dimensions connues par le précédent calcul. On lui applique une charge répartie correspondant à l'augmentation de poids acquise durant ce cycle. Les déplacements calculés sont ensuite ajoutés aux anciennes coordonnées pour obtenir la nouvelle forme de branche. On résout ainsi les problèmes dûs aux grands déplacements ainsi qu'aux changements d'épaisseur et de longueur de la branche.
Pratiquement, la branche est divisée en maillons équidistants. La distance entre les maillons reste constante puisque les branches d'arbre ne s'allongent qu'à leurs extrémités. Les dérivées ont été remplacées par des différences entre maillons successifs et les intégrales par de simples sommations.
Les figures 1 à 3 montrent le résultat des calculs lorsqu'on fait varier l'angle de départ des rameaux. La comparaison des figures 2 et 4 montre que deux arbres de caractéristiques identiques mais de tailles différentes ne sont pas semblables, c'est l'effet d'échelle.
Le texte complet avec les équations peut être téléchargé ici-> Texte complet
vendredi 30 novembre 2007
Equilibrium shape of a tree branch
Abstract
The shape of tree branches is computed using the theory of flexure of beams. Numerical computation is used and takes into account large displacements and growth. The coupling between elastic bending and growth results in a branch shape having an inflection point connected with a permanent deformation.
Growth stresses
The study of stresses in living materials has been the subject of many papers. For example the stresses due to anisotropic growth [1], influence of stresses on growth [2], and even viscoelasticity [3] or plasticity. The influence of gravity on growth is known under the names of gravimorphism [4] or geotropism [5]. The proportions of trees have been found to be limited by elastic criteria to stand under their own weight [6]. Growth stresses and particularly those due to reaction wood play an important role in the mechanics of trees [8], but this paper is focused essentially on the physical influence of gravity. Growth stresses are predominant in the trunk of a vertical tree, where gravitational forces creating nearly hydrostatic pressures may be neglected [8]. In branches, where bending is dominant, stresses due to gravitational forces are much larger than in the trunk. In this paper, growth stresses will be considered as a distinct phenomenon that will not be taken into account in a first approximation.
Upright growth of trees
A forest tree that has been shifted from its normal upright position during a storm will probably grow straight again. Reaction wood may force the tree to an upright position again, but bending strain was not found to affect radial xylem growth in Douglas-fir [5]. Old branches have an inflection point and their curvature remaining almost unchanged when cut, their deformation is permanent. It is often not possible to straighten these branches without breaking them.
Bending of beams and of branches
In the absence of gravity a branch would probably grow straight in the direction of light. With growth rings of constant thickness and a constant yearly increase in length, the shape of a branch would be a cone. Trees may be considered as structures made of beams (dead branches) subjected to gravity. Classical Strength of Materials considers a beam with a given shape, applies a load and calculates the resulting shape, slightly different from the original one for thick beams. Thin beams may have large deflections resulting in non linear displacement, though still elastic. To apply elasticity to a tree branch, it is necessary to know its shape before any calculation. The theory shows that the curvature of the bent beam has a constant sign, there is no inflection point. Elasticity is adequate to calculate the deflection of a branch when the changes in thickness and length are negligible as for a branch temporarily loaded with snow or fruits.
Irreversibility of the bend
When the load is permanent, viscous or plastic deformation may occur, but the coupling between the simultaneous increase of the load and the thickening of the branch is more important. A branch bends continuously with time, even if it thickens. Even with a constant load there would be no decrease of the deflection when the branch thickens. On the contrary, a decrease of the thickness of the branch, would also increase the deflection. The process of growth being time-dependent, the shape of a branch is a function of time.
Method to calculate the branch bending
Dividing time into infinitely small intervals, it is possible to divide each time step in a few more steps: growth, loading and bending. Growth produces an increase in length and thickness of the branch and therefore a small change in geometry. Using the new geometry, the increase in load being small, linear elasticity may be used to compute the deflection, giving another change in geometry of the branch. The growth cycle may then be repeated for the next time step and so on. Because of the changes in thickness and length, the principle of superposition does not apply directly. Therefore, the stress distribution through the branch is no more linear and a permanent deformation occurs even if the incremental stress distribution is linear, e.g. elastic behaviour of the wood.
Numerical method
Many methods have been devised by engineers to analyse the mechanical behaviour of structures. Numerous configurations have been solved with analytical formulae, but they are valid only for simple geometries. With the advent of computers, numerical methods, such as finite elements and finite differences have been developed to calculate complicated structures. None of them (at our knowledge), takes into account the growth phenomenon (occurring in the same manner in the construction of buildings as for trees). In order to calculate the shape of a branch, a simple finite difference method has been used to integrate the differential equation of flexure step by step along the branch and iterated in a time marching process. At each time step, thickness, length and deflection of the branch are adjusted to take care of growth. Few input data are necessary: the thickness of the annual growth rings, the annual length increase of the branches, the growth angle, the density, the longitudinal elastic modulus of wood and the acceleration of gravity.
Numerical results
The results are synthesised in a picture of the whole tree: the young branches are at the top, almost straight and pointing in the direction of growth. The old branches, at the bottom of the tree, are curved and deflected towards the bottom. Figures 1 to 3 show the influence of the growth angle. On figure 3 b, after touching the ground, the branches grow horizontally, which is not realistic. On figure 4, the branches continue to grow with a support on the ground. Figure 6 shows a real tree where the branches have touched the ground.
The shapes of the branches are characterised by an inflection point, not predictable with the elastic criteria of MacMahon [6].
Fig 1: Small growth angle. Growth direction at 80°.
Fig. 2 : Growth direction at 45°.
Fig. 3 a : 90° growth angle without ground.
Fig. 3 b : 90° growth angle with ground.
Fig 4 : 45° growth angle.
Fig. 4 : Growth direction at 45°, growth speed twice slower than on the other figures. This shape is not geometrically similar to figure 2 (scale effect).
Fig. 5 : Old tree with branches growing up again after touching earth.
Fig. 6 a : Old cypress from the Bois de Boulogne in Paris
Fig 6 b : Another old branch having grown after touching the ground.
Fig 7 : An araucaria araucana looking like the numerical model.
Here is the original paper accompanied with the listing of the software : Branche