On apprend à l'école que la lumière se propage en ligne droite. En réalité ce n'est pas tout à fait vrai. Selon la relativité restreinte, il y a équivalence entre masse et énergie selon la formule E=mc2. Einstein nous apprend aussi que la lumière est constituée de photons d'énergie E=hν, donc de masse m=hν/c2. Les théoriciens "modernes" prétendent qu'un photon n'a pas de masse (sous-entendu "au repos", un non-sens puisqu'on ne peut immobiliser un rayon lumineux). C'est en contradiction avec la relativité générale où la lumière est déviée par les étoiles. Cela a été vérifié par Eddington en 1919 en observant la lumière d'une étoile réfractée par le soleil.

De façon plus savante, la relativité générale est le passage de l'espace-temps de Minkowski à un espace-temps courbe. On peut aussi l'obtenir partiellement à partir de la mécanique newtonienne qui donne, dans la métrique de Minkowski (x² + y² + z² - c²t² = 0), un coefficient du temps fonction des coordonnées spatiales. La métrique de Minkowski devient, dans un espace-temps courbe gxxx² + gyyy² + gzzz² + gtt(ict)² = 0. On remarque que les coefficients g, fonctions du potentiel de gravitation en 1/r, ont des indices doubles car les variables x,y,z,t sont au carré. Quoique imaginaire, ict remplace le temps t qui devient une variable spatiale (elle a la dimension d'une longueur) la distance parcourue par la lumière. En 1916, Einstein s'est aperçu que le coefficient des coordonnées spatiales devait être l'inverse de celui du temps : gxxgtt=1…, ce qui double la déviation de la lumière par le soleil, conformément à l'observation faite en 1919 par Eddington, lors d'une éclipse totale de soleil.

Le diagramme ci-après schématise le passage de la mécanique newtonienne et de la relativité restreinte aux équations d’Einstein. Il n’est pas aussi logique que pour la relativité restreinte car j’ai suivi l’ordre historique en trois étapes, 1911, avec la relativité en limite newtonienne, 1916, avec la métrique de Schwarzschild et l’équation du déterminant, et enfin les équations d’Einstein. Celles-ci auraient dû apparaître au départ, de même que la transformation de Lorentz, mais cela permet au lecteur d’assimiler progressivement la théorie.

La relativité générale est la relativité restreinte où les coefficients de la métrique varient avec la gravitation. Elle ne contient pas l'équivalent de la dynamique relativiste puisque la masse n'y apparaît pas.
RG

La première équation en haut à gauche est la métrique de Minkowski. En lui appliquant le principe d'équivalence entre l'accélération cinématique et l'accélération de la gravitation, Einstein a obtenu la relation entre la vitesse de la lumière et le potentiel de gravitation Φ. On obtient ainsi une métrique dite en limite newtonienne où seul le coefficient de d(ict)² = -c²dt² est fonction du potentiel de gravitation Φ. La métrique peut se transformer en lagrangien pour calculer la trajectoire d'un objet vers un trou noir ou la trajectoire de Mercure autour du Soleil. Or la théorie précédente, formulée par Einstein en 1911 est insuffisante. Il l'a modifiée en faisant appel au calcul tensoriel et obtenu en 1916 les équations qui portent son nom.

Les équations d'Einstein expriment que, hors de toute matière, dans un champ de gravitation, le tenseur de Ricci est nul. Pour le comprendre considérons un espace à deux dimensions, c'est-à-dire une surface. Le tenseur de Ricci d'une surface n'a que deux composantes proportionnelles au tenseur de Riemann. Le tenseur de Riemann d'une surface n'est autre que sa courbure de Gauss, à un coefficient près, égal à un en coordonnées de Riemann. Les coordonnées de Riemann sont des coordonnées cartésiennes avec un référentiel dont l'ordonnée z est perpendiculaire à la surface, x et y sont dans le plan tangent à la surface et coïncident avec les axes de symétrie de la surface en ce point. En deux dimensions et en coordonnées de Riemann, la courbure de Gauss, produit des courbures principales de la surface, est égale au tenseur de Riemann.

La nullité du tenseur de Riemann et, donc de la courbure de Gauss d'une surface veut dire que cette surface est analogue à une feuille de papier qui peut être transformée en un cône, un cylindre ou autre, mais pas en une sphère ou un paraboloïde. La nullité du tenseur de Ricci en est une généralisation à une surface de dimension quelconque.

De la même façon qu'on approxime une courbe quelconque par une parabole, on approxime localement la surface par un paraboloïde. L'équation d'Einstein se simplifie alors en un laplacien qu'on peut généraliser en trois dimensions pour donner l'équation de Laplace dont la solution en symétrie sphérique est justement la loi de la gravitation de Newton. En passant aux quatre dimensions de l'espace-temps, avec, comme quatrième coordonnée w=ict, il apparaît un signe moins et l'équation de Laplace quadridimensionnelle devient celle de d'Alembert : ce sont les ondes gravitationnelles, non encore observées.

Dans la matière, l'équation de Laplace est remplacée par celle de Poisson. De même, les équations d'Einstein prennent un second membre, le tenseur énergie-impulsion. La première des équations d'Einstein correspond à la masse spécifique qui apparaît dans l'équation de Poisson. Les trois autres sont les équations, relativistes, de la dynamique des fluides. Ces équations ont peu d'intérêt pour nous autres terriens car il est difficile de vérifier ce qui se passe au centre de la Terre ou ailleurs dans l'Univers. 

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