jeudi 7 mai 2009
La relativité restreinte
- De Galilée à Einstein
Le principe de relativité consiste à dire qu'un mouvement est relatif. Chacun peut s'en rendre compte dans un train en gare où on ne sait pas si c'est lui ou son voisin qui démarre. Au démarrage on peut ressentir une accélération qui indique que c'est nous qui accélérons. Ce qu'on détecte c'est un changement d'accélération par rapport au repos. Pour le comprendre, le plus simple est de partir d'un mouvement loin de toute masse, c'est-à-dire en apesanteur. Pour créer une acélérration, il faut, par exemple, mettre son moteur-fusée en marche. En vertu du théorême de la conservation de la quantité de mouvement, le centre de gravité de l'ensemble va garder la même vitesse constante par rapport à n'importe quel référentiel galiléen. Le passager de la fusée ressentira une accélération mais pas le centre de gravité. En effet le centre de gravité de l'ensemble fusée plus gaz d'échappement reste constant même si la masse de gaz éjecté est faible car leur vitesse est mille fois supérieure à celle de la fusée et sont donc expédiés bien plus loin ce qui permet de garder le centre de gravité de l'ensemble immobile. De même, lorsqu'un train démarre, il exerce une force sur les rails. Cette force imprime un mouvement de rotation à la Terre, certes très faible mais que l'on peut calculer grâce au principe de conservation de la quantité de mouvement ou du moment cinétique dans le cas d'une rotation. La vitesse imprimée par le train à la Terre est très faible car elle est dans le rapport de leurs masses. Einstein a généralisé la composition des vitesses de telle sorte que la vitesse de la lumière ne puisse être dépassée grâce à un coefficient fonction des vitesses d'entraînement, relative et de la lumière. C'est la transformation de Lorentz qui reste linéaire comme celle de Galilée mais avec un paramètre en plus, le temps.
Le "paradoxe des jumeaux", imaginé par Langevin, a fait couler beaucoup d'encre et ressemble aux discussions byzantines sur le sexe des anges. En effet il est basé sur la notion de référentiel inertiel, c'est-à-dire à vitesse constante. Mais cela doit être fait par rapport au même référentiel inertiel. Cela est d'ailleurs pratiquement impossible à réaliser. Le fait que l'un des voyageurs est accéléré et pas l'autre est faux puisque le voyageur "immobile" est soumis non seulement à l'accélération centripète due à la rotation de la Terre mais aussi à l'accélération de la pesanteur alors que le voyageur du cosmos est soumis à une accélération non comparable.
- De Lorentz à Einstein
Le diagramme ci-après montre comment on passe de la transformation de Lorentz à la relation d'Einstein E = mc², de façon rationnelle. La constance de la vitesse de la lumière ou les équations de Maxwell ont pour conséquence la transformation de Lorentz puis la dilatation du temps et la contraction des longueurs ainsi que la transformation des vitesses et accélérations. En utilisant le temps comme quatrième dimension, on obtient la métrique de Minkowski. La transformation de l’accélération a pour conséquence, associée à la loi fondamentale de la dynamique, la proportionnalité de l'énergie cinétique à la variation de masse multipliée par c². Enfin, avec l’hypothèse supplémentaire que l’énergie contenue dans une masse donnée lui est proportionnelle, on obtient la formule E = mc2.
Tous les détails dans mon livre "Relativités et quanta clarifiés", publié chez Publibook
consultable sur Google livres, Amazon et dans toutes les bonnes
librairies scientifiques ainsi que dans plusieurs dizaines de
bibliothèques universitaires. On trouvera la substantifique moelle de
la relativité restreinte avec une démonstration de la formule
E = mc² sur Relativité restreinte Voir aussi la version anglaise.
La relativité restreinte se ramène à la notion d'espace-temps avec une quatrième dimension ict où i est le nombre imaginaire racine carrée de -1, c la vitesse de la lumière et t le temps. On obtient ce résultat en combinant le principe de relativité, la constance de la vitesse de la lumière dans une relation linéaire qui est la transformation de Lorentz.
dimanche 3 mai 2009
L'atmosphère terrestre et les vents
On peut voir à la télévision ou sur Internet, sur des photos satellites, les dépressions qui nous amènent la pluie et le vent. Les nuages forment des spirales tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre:
Sens de rotation
Le pendule de Foucault oscille dans un plan immobile par rapport aux astres. Il semble tourner en sens inverse de la rotation de la Terre en 24 heures au pôle et en 32 heures à Paris.
L'atmosphère est, dans son ensemble, en équilibre avec la Terre à cause de son frottement avec le sol. A haute altitude, au-delà de 10 km, les jetstreams soufflent à plusieurs centaines de km/h mais n'atteignent pas la vitesse, supersonique, de la Terre à l'équateur (1.667 km/h). Une dépression peut apparaître localement; les molécules se mettent en mouvement sans tenir grand compte de la rotation de la Terre. Comme le pendule de Foucault, elles se déplacent par rapport aux astres. Elles semblent faire un tour en 24 heures au Pôle, en 32 heures à Paris et, de même que le pendule de Foucault, les molécules d'air à l'équateur ne sont déviées ni à gauche ni à droite mais peuvent être ralenties par frottement avec le sol.
Dans une dépression, comme son nom l'indique, le vent est attiré par les basses pressions qui règnent en son centre alors que dans un anticyclone, le vent est poussé par la pression, maximale au centre de l'anticyclone. Les molécules d'air apparaissent déviées en sens inverse de la rotation de la Terre, c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre. C'est le cas dans les anticyclones où les molécules sont poussées vers l'extérieur. Dans une dépression, les molécules, c'est-à-dire les gouttelettes d'eau des nuages, sont attirées vers l'intérieur de la dépression. Le sens de rotation de la dépression est inversé et se fait alors dans le même sens que la Terre, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre. C'est ce qu'on observe sur les photos satellite.
C'est grâce aux nuages qu'on peut visualiser les dépressions sur les vues satellitaires. Cela s'explique par le fait qu'une dépression produit une détente de l'air et, donc, un refroidissement qui condense la vapeur d'eau en gouttelettes d'eau liquide, visibles sous forme de nuages. Ce n'est, semble-t-il, jamais possible pour les anticyclones car il y fait généralement un beau temps sans nuage à cause des pressions élevées qui y règnent.
Cyclones et tempêtes
Comme le pendule de Foucault, cyclones et anticyclones subissent la "force" de Coriolis. On peut donc s'attendre à ce qu'une tempête à la latitude de Paris ait la même période de rotation que le pendule de Foucault, soit 32 heures. Celle des hurricanes, près de l'équateur, du côté des Bahamas, serait de l'ordre de 70 heures. La vitesse du vent dans un cyclone est nulle dans son oeil ainsi qu'à grande distance. Il y a donc un rayon pour lequel la vitesse du vent est maximale (de 100 à 300 km/h). Le rayon du cyclone est égal à la vitesse maximale v du vent multipliée par sa période de rotation T et divisée par π. Le diamètre du cyclone est donc, sous nos latitudes, de l'ordre de :
Simulation analogique et loi de l'inertie de Galilée et Newton
On peut visualiser une dépression en regardant tourner un disque par rapport au plancher des vaches: Plancher_immobile Ensuite, en mettant l'appareil photo sur un trépied posé sur le disque, on voit que c'est le plancher des vaches qui tourne: Plancher_tournant. Pour les terriens, le plan d'oscillation du pendule de Foucault semble tourner mais reste en réalité fixe par rapport aux étoiles. Il en est de même pour le vent d'une dépression qui soufflerait en ligne droite ( par rapport aux étoiles si la Terre était plate, en l'absence de frottement entre l'air et elle. On a tout simplement appliqué la première loi de Newton qui est en fait la loi de l'inertie de Galilée qui s'énonce ainsi: "tout corps se trouve à l'état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme tant qu des forces appliquées ne provoquent des variations de cet état".
Hémisphères Nord et Sud
Voir l'expérience du manège au Palais de la Découverte et aussi Wikipedia.
Un joueur, placé au centre du disque, lance une balle vers un autre joueur assis en face, sur la circonférence du manège. Vu du plancher des vaches, la trajectoire est rectiligne mais la personne à qui on lance la balle s'est déplacée. Pour le lanceur la balle semble avoir été déviée vers la droite alors que pour un observateur immobile, sa trajectoire est rectiligne (en grisé).
Supposons maintenant que nous soyons en-dessous du plateau, les pieds sur le plateau et la tête en bas, comme les Australiens, le disque représentant toujours la projection de la Terre sur le plan de l'équateur est à l'envers.
La déviation est cette fois à gauche. C'est pourquoi la déviation de Coriolis est à gauche dans l'hémisphère Sud quand elle est à droite dans l'hémisphère Nord et vice-versa. On interprète d'habitude cet effet par la force de Coriolis qui, comme la force centrifuge, est une force
fictive. En fait c'est une accélération, effet purement cinématique,
c'est-à-dire à la fois géométrique et temporel. On peut calculer l'accélération totale, somme de ces trois accélérations en
dérivant vectoriellement la position par rapport au temps pour obtenir
la vitesse, dérivée une seconde fois pour obtenir l'accélération absolue qui a
trois composantes, l'accélération relative, l'accélération
centripète (opposée de l'accélération centrifuge) et l'accélération
complémentaire ou de Coriolis (voir mon calcul sur Wikipedia). Il est plus simple d'utiliser le principe de relativité, pourtant supposé inapplicable ici d'après les livres car on n'est pas dans un référentiel inertiel. En fait, comme Einstein l'a précisé en 1905, il s'applique bien à un mouvement lentement accéléré. Il suffit de se placer dans un référentiel dit inertiel ou galiléen pour simplifier le problème comme on l'a fait plus haut.
Pour résumer, dans l'hémisphère Nord, une dépression est déviée vers la gauche. La déviation est inversée dans l'hémisphère Sud mais aussi pour un anticyclone de sorte qu'un cyclone est dévié dans l'hémisphère Sud de la même façon qu'un anticyclone dans l'hémisphère Nord.
Les vents alizés
Les alizés se déplacent des hautes pressions du tropique vers les basses pressions de l’équateur déviés vers leur droite dans l'hémisphère Nord, comme les anticyclones dont ils sont issus. Ils soufflent entre 30°N et l'équateur. Leur vitesse est assez constante (30 km/h). Les alizés n'ont pas de moteur mais sont alimentés par les anticyclones. Ils continuent sur leur lancée apparente vers l'Ouest quoique freinés. En effet, les anticyclones du Nord et du Sud dévient les vents vers la droite dans le Nord et la gauche dans l'hémisphère Sud pour converger dans les alizés. Les alizés de l'hémisphère Nord rencontrent ceux de l'hémisphère Sud pour former la dépression du pot au noir (Zone de Convergence Inter Tropicale ou ZCIT) sur l'équateur. Cette dépression aurait donné son nom à la célèbre maladie car les navigateurs arrivaient dans cette zone où ils n'avançaient plus et subissaient des nuages et de la pluie à n'en plus finir. Cette dépression est due à la forte chaleur qui provoque une évaporation intense avec une élévation des masses d'air chaud et humide, plus léger que l'air sec, remplacé par celui des anticyclones, sec car provenant des déserts.
Les alizés soufflant d'Est en Ouest, en sens contraire de la Terre, sont utilisés par les navigateurs à la voile pour traverser l'Atlantique et atteindre le Nouveau Monde. Le chemin du retour se fait lors de l'absence des alizés ou par contournement des Açores par le Nord pour profiter de l'anticyclone.
On trouvera des détails dans "Quelques éléments de Météorologie". et aussi dans coriolis.doc
Les courants marins sont aussi soumis à l'accélération de Coriolis mais ne sont pas suffisamment rapides pour faire un tour en 24 h autour du continent Antarctique: ils sont simplement déviés. On peut les suivre grâce à des bouées. Le courant froid circumpolaire antarctique , qui serait entraîné par le vent, tourne à une vitesse de un noeud dans le même sens que la Terre. Un autre courant circule au plus près de l'Antarctique : le courant périantarctique, qui circule d'est en ouest, séparé du courant circumpolaire par la divergence antarctique.C'est encore plus compliqué ailleurs à cause des formes compliquées des côtes…