mercredi 7 mai 2008
La relativité générale
La relativité générale est le passage de l'espace-temps de Minkowski à un espace-temps courbe. On peut aussi l'obtenir partiellement à partir de la mécanique newtonienne qui donne un coefficient du temps fonction des coordonnées spatiales. Cependant, dans un deuxième temps, Einstein s'est aperçu qu e le coefficient des coordonnées spatiales devait être le même, inversé, ce qui double la déviation de la lumière par le soleil, conformément à l'observation.
Le diagramme ci-après schématise le passage de la mécanique newtonienne et de la relativité restreinte aux équations d’Einstein. Il n’est pas aussi logique que pour la relativité restreinte car j’ai suivi l’ordre historique en trois étapes, 1911, avec la relativité en limite newtonienne, 1916, avec la métrique de Schwarzschild et l’équation du déterminant, et enfin les équations d’Einstein. Celles-ci auraient dû apparaître au départ, de même que la transformation de Lorentz, mais cela permet au lecteur d’assimiler progressivement la théorie.
La relativité générale est la relativité restreinte sans la dynamique relativiste mais où les coefficients de la métrique sont fonction du potentiel de gravitation.
La première équation en haut à gauche est la métrique de Minkowski. En lui appliquant le principe d'équivalence entre l'accélération cinématique et l'accélération de la gravitation, Einstein a obtenu la relation entre la vitesse de la lumière et le potentiel de gravitation Φ. On obtient ainsi une métrique dite en limite newtonienne où seul le coefficient de d(ict)² = -c²dt² est fonction du potentiel de gravitation Φ. La métrique peut se transformer en lagrangien pour calculer la trajectoire d'un objet vers un trou noir ou la trajectoire de Mercure autour du Soleil. Or la théorie précédente, formulée par Einstein en 1911 est insuffisante. Il l'a modifiée en faisant appel au calcul tensoriel et obtenu en 1916 les équations qui portent son nom.
Les équations d'Einstein expriment que, hors de toute matière, dans un champ de gravitation, le tenseur de Ricci est nul. Pour le comprendre considérons un espace à deux dimensions, c'est-à-dire une surface. Le tenseur de Ricci d'une surface n'a que deux composantes proportionnelles au tenseur de Riemann. Le tenseur de Riemann d'une surface n'est autre que sa courbure de Gauss, à un coefficient près, égal à un en coordonnées de Riemann. Les coordonnées de Riemann sont des coordonnées cartésiennes avec un référentiel dont l'ordonnée z est perpendiculaire à la surface, x et y sont dans le plan tangent à la surface et coïncident avec les axes de symétrie de la surface en ce point. En deux dimensions et en coordonnées de Riemann, la courbure de Gauss, produit des courbures principales de la surface, est égale au tenseur de Riemann.
La nullité du tenseur de Riemann et, donc de la courbure de Gauss d'une surface veut dire que cette surface est analogue à une feuille de papier qui peut être transformée en un cône, un cylindre ou autre, mais pas en une sphère ou un paraboloïde. La nullité du tenseur de Ricci en est une généralisation à un espace de dimension quelconque.
De la même façon qu'on approxime une courbe quelconque par une parabole, on approxime localement la surface par un paraboloïde. L'équation d'Einstein se simplifie alors en un laplacien qu'on peut généraliser en trois dimensions pour donner l'équation de Laplace dont la solution en symétrie sphérique est justement la loi de la gravitation de Newton. En passant aux quatre dimensions de l'espace-temps, avec, comme quatrième coordonnée w=ict, il apparaît un signe moins et l'équation de Laplace quadridimensionnelle devient celle de d'Alembert : ce sont les ondes gravitationnelles, non encore observées.
Dans la matière, l'équation de Laplace est remplacée par celle de Poisson. De même, les équations d'Einstein prennent un second membre, le tenseur énergie-impulsion. La première équation correspond à la masse spécifique qui apparaît dans l'équation de Poisson. Les trois autres sont les équations, relativistes, de la dynamique des fluides.
Tous les détails dans mon livre "Relativités et quanta clarifiés", publié chez Publibook consultable sur Google livres, Amazon, dans toutes les bonnes librairies scientifiques ainsi que dans plusieurs dizaines de bibliothèques universitaires. On trouvera une démonstration simplifiée des équations d'Einstein sur Relativité générale
jeudi 1 mai 2008
Simulation numérique du déferlement d'une vague
Le mouvement d'une vague créée dans un canal à houle par un générateur de vagues du type piston a été simulé sur microordinateur par un calcul de différences finies en coordonnées de Lagrange. Voir le film:_Vague
La méthode de calcul consiste à découper le volume fluide en quadrilatères où la pression et les autres paramètres sont constants et à diviser le temps en petits intervalles égaux. On associe à chaque nœud du maillage ainsi créé un élément obtenu en joignant entre eux les quatre nœuds voisins. On applique pour chaque pas de temps à cet élément les lois fondamentales de la mécanique qu'on intègre par différences finies au premier ordre. Le fluide est homogène, pesant, compressible et a une tension superficielle. Le logiciel a été validé par comparaison avec des résultats expérimentaux et numériques issus de la littérature, concernant des vagues de moyenne amplitude. Le calcul est possible au-delà du déferlement. En faisant varier la profondeur et la vitesse du piston on a trouvé que la vitesse de la base de la vague ne dépend que de la profondeur mais que la vitesse de la crête est double de celle du piston. Un film d'animation a été réalisé à l'aide d'une caméra, déclenchée par le microordinateur, filmant l'écran.
Article téléchargeable (pdf) ici: ATMA 88