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1. INTRODUCTION. - L'étude des contraintes dans les matériaux vivants a fait l'objet d'un certain nombre de publications: contraintes due à l'anisotropie  de la croissance [1], influence des contraintes sur la croissance [2]  et même viscoélasticité [3] ou la plasticité. L'influence de la pesanteur sur la croissance est connue sous les noms de gravimorphisme [4] ou géotropisme [5]. La forme des arbres doit satisfaire à des critères élastiques pour résister à leur propre poids [6]. Les contraintes de croissance et en particulier celles créées par le  bois de réaction jouent un rôle important [7,8]. Cependant nous nous limiterons ici à décrire une branche comme un corps élastique pesant ayant une croissance anisotrope, dans une direction fixe.

2. APPLICATION AUX BRANCHES DE LA THEORIE DE LA FLEXION DES POUTRES. -  Les efforts que doivent supporter les branches d'un arbre sont essentiellement des efforts de flexion dûs à leur poids propre. La première idée qui vient à l'esprit est de leur appliquer la théorie de la flexion des poutres.
Le modèle proposé est basé sur un certain nombre d'hypothèses physiques et biologiques. Le matériau constituant la branche est élastique linéaire, ses propriétés physiques (densité et module) sont constantes et uniformes.  Le bois neuf est libre de toute contrainte. La branche est soumise à la seule pesanteur et à des efforts de flexion pure, sans effort tranchant, dans la mesure où elle est suffisamment élancée.  La branche pouvant prendre une forme très différente de sa forme initiale, on applique l'Elasticité en grands déplacements, ou Elastique [9], qui utilise l'expression exacte de la courbure et non la dérivée seconde de l'ordonnée par rapport à l'abscisse. Comme on applique les formules de la flexion pure, l'anisotropie du bois n'intervient pas. La branche croît dans une direction fixe, sans ramifications, encastrée dans un tronc droit, à vitesse constante sur une même branche quel que soit son âge d'apparition, à largeur des cernes annuels également constante. Il n'y a pas d'élagage, naturel ou non, ni de contact avec le sol. Pour prendre en compte les changements de dimensions de la branche, on a été amené à remplacer la relation linéaire entre les contraintes et les déformations (ou entre les moments et les courbures), par la même relation entre leurs dérivées, comme en Hypoélasticité [2,3].
La théorie de l'Elasticité, où les déformations sont réversibles et la répartition des contraintes à travers la section est linéaire, s'applique à un objet dont la géométrie est donnée à l'avance et qui est supposé libre de toute contrainte dans son état initial, par exemple une branche soumise temporairement à l'action du vent ou au poids de la neige ou des fruits. Considérons une branche non pesante: c'est une poutre droite conique. Supposons maintenant qu'elle devienne soudain pesante, en appliquant directement à cette poutre la théorie élastique de la flexion, on obtiendrait une déformée ayant une concavité vers le bas.
Une poutre fléchie reprend pratiquement sa forme initiale lorsqu'on libère les efforts appliqués. Une branche coupée ne se redresse que très partiellement, surtout si elle est âgée. La courbure de la branche, permanente, correspond à une déformation souvent très supérieure à la déformation à la rupture du bois. Elle pourrait être attribuée en partie à la viscoélasticité et à la plasticité du matériau, mais l'essentiel de cette courbure est dû au couplage entre la flexion et la croissance. Le bois neuf constitue un manchon initialement libre de toute contrainte. Or, dans la théorie des poutres, la répartition des contraintes à travers la section est linéaire. Dans une branche, elle ne peut  l'être car, étant nulle en surface, elle serait nulle partout. Si on coupe la branche, pour calculer la répartition des contraintes satisfaisant au nouvel équilibre mécanique, on superpose à l'ancienne répartition une répartition qui, étant linéaire, ne pourra libérer entièrement les contraintes internes. Le bois récent, en maintenant déformé le bois ancien, empêche la branche de se redresser.
  La branche  grandit dans la direction de croissance, vers le haut, se renforce et fléchit un peu vers le bas, à chaque cycle de croissance, sous son accroissement de poids. La courbure est négative  lorsque la flexion l'emporte sur la croissance et positive dans le cas contraire (la variation de courbure due à la maturation du bois [10] n'est pas prise en compte dans ce schéma). La courbure est orientée vers le bas du côté du tronc et vers le haut à l'extrémité des branches. Ce changement de signe de la courbure se traduit par une forme infléchie qui va être calculée dans le paragraphe suivant.

3. PRINCIPE DU CALCUL. -   En admettant que la vitesse de croissance soit constante, la longueur de la branche et son diamètre sont proportionnels au temps. Le rayon varie donc linéairement le long de la branche (largeur des cernes constante).
On calcule le moment d'inertie (section circulaire) et la variation du poids par unité de longueur et de temps. On applique à chaque instant et à chaque point de la branche la formule de la flexion des poutres dα/ds = M/EI où α est l'angle d'inclinaison de la branche à l'endroit et à l'instant considérés, M le moment d'inertie, E le module d'élasticité de Young et I le moment d'inertie. Il faut  dériver par rapport au temps pour intégrer en fonction du temps et obtenir la flèche à la fois le long de la branche et son cumul dans le temps.

Il s'agit d'un calcul en grands déplacements analogue à l'élastique d'Euler et en fonction du temps. Ce calcul ne peut se faire que numériquement par différences finies. On procède par itération, chaque itération correspondant à un cycle de croissance. La nouvelle forme de branche est calculée à partir de l'ancienne, considérée comme une poutre de forme et de dimensions connues par le précédent calcul. On lui applique une charge répartie correspondant à l'augmentation de poids acquise durant ce cycle. Les déplacements calculés sont ensuite ajoutés aux anciennes coordonnées pour obtenir la nouvelle forme de branche. On résout ainsi les problèmes dûs aux grands déplacements ainsi qu'aux changements d'épaisseur et de longueur de la branche.
Pratiquement, la branche est divisée en maillons équidistants. La distance entre les maillons reste constante puisque les branches d'arbre ne s'allongent qu'à leurs extrémités. Les dérivées ont été remplacées par des différences entre maillons successifs et les intégrales par de simples sommations.
Les figures 1 à 3 montrent le résultat des calculs lorsqu'on fait varier l'angle de départ des rameaux. La comparaison des figures 2 et 4 montre que deux arbres de caractéristiques identiques mais de tailles différentes ne sont pas semblables, c'est l'effet d'échelle.

Le texte complet publié (C.R. Acad. Sci. Paris, t. 311,série II, pp 37-43, 1990) avec les équations peut être téléchargé ici-> Texte complet